Théorie du portefeuille

Le CAPM, du risque au prix

Le Capital Asset Pricing Model (MEDAF en français) relie le rendement qu'un investisseur peut exiger d'un actif à la seule part de risque qu'il ne peut pas diversifier. Ce tutoriel le reconstruit pas à pas, graphiques interactifs à l'appui, jusqu'à l'optimisation quadratique en dimension n qui en est le socle mathématique.

E[R_i] = r_f + β_i ( E[R_m] − r_f )

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Origines et intuition

En 1952, Harry Markowitz formalise une idée simple mais révolutionnaire : un investisseur ne devrait pas juger un titre isolément, mais par sa contribution au couple rendement-risque de l'ensemble de son portefeuille. C'est la théorie moderne du portefeuille, et son outil central est l'optimisation quadratique : minimiser la variance du portefeuille sous contrainte de rendement.

Une douzaine d'années plus tard, William Sharpe (1964), John Lintner (1965) et Jan Mossin (1966) posent la question suivante : si tous les investisseurs optimisent à la Markowitz, quels prix — donc quels rendements espérés — doivent prévaloir à l'équilibre ? La réponse est le CAPM. Sharpe et Markowitz recevront le prix Nobel d'économie en 1990 pour ces travaux.

Le message central du CAPM Le marché ne rémunère pas le risque total d'un actif, mais uniquement son risque systématique — celui qui est corrélé au marché et qu'aucune diversification ne peut éliminer. Cette quantité est mesurée par le bêta. Le risque spécifique (idiosyncratique), lui, peut être diversifié gratuitement : personne ne paie pour le porter.

Les hypothèses du modèle

Le CAPM est un modèle d'équilibre : ses conclusions découlent d'hypothèses fortes qu'il faut garder en tête (nous y reviendrons en section 6) :

Les investisseurs sont averses au risque et ne raisonnent qu'en moyenne-variance sur une seule période.
Ils partagent les mêmes anticipations (espérances, variances, covariances des rendements).
Il existe un actif sans risque, au taux duquel chacun peut prêter et emprunter sans limite.
Les marchés sont parfaits : pas de coûts de transaction, pas d'impôts, actifs divisibles, information gratuite.

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Rendement, risque et diversification

Le rendement d'un actif sur une période, dividende D compris, s'écrit R = (P₁ − P₀ + D) / P₀. Comme P₁ est incertain, R est une variable aléatoire : on la résume par son espérance E[R] (le rendement attendu) et son écart-type σ (la volatilité, mesure du risque).

Pour un portefeuille de poids w_i (avec Σw_i = 1), l'espérance est linéaire :

E[R_p] = Σ_i w_i E[R_i]

(1)

mais la variance, elle, n'est pas linéaire — c'est tout l'intérêt de la diversification. Elle fait intervenir toutes les covariances σ_ij = Cov(R_i, R_j) :

σ_p² = Σ_i Σ_j w_i w_j σ_ij = w^⊤Σ w

(2)

Le cas de deux actifs A et B, avec un poids w sur A et une corrélation ρ, rend la mécanique visible :

σ_p² = w²σ_A² + (1−w)²σ_B² + 2w(1−w)ρ σ_Aσ_B

(3)

Tant que ρ < 1, la volatilité du mélange est inférieure à la moyenne pondérée des volatilités : la courbe des portefeuilles se bombe vers la gauche. C'est le seul « repas gratuit » de la finance. Déplacez le curseur de corrélation ci-dessous pour le constater.

Figure 1 — Diversification entre deux actifs

Chaque point de la courbe est un portefeuille (poids w sur l'actif A, 1−w sur B). Survolez la courbe pour lire la composition.

Corrélation ρ(A, B) 0,30

Portefeuilles A + B Variance minimale (GMV) Actifs purs

Observez le cas extrême ρ = −1 : il devient possible d'annuler totalement le risque. À l'inverse, si ρ = 1, la courbe dégénère en segment de droite : plus aucun bénéfice de diversification. Dans la réalité, les corrélations entre actions se situent typiquement entre 0,3 et 0,8 — la diversification aide, mais ne supprime jamais le risque commun à tous les titres. Ce résidu incompressible est précisément le risque systématique que le CAPM va tarifer.

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La frontière efficiente et la droite de marché des capitaux

Généralisons à n actifs. L'ensemble des portefeuilles possibles forme une région du plan (σ, E[R]) ; sa bordure gauche est une hyperbole, la frontière de variance minimale. Seule sa branche supérieure est intéressante : c'est la frontière efficiente, l'ensemble des portefeuilles qui offrent le rendement maximal pour chaque niveau de risque. (Le calcul exact de cette frontière est l'objet de la section 5.)

Introduisons maintenant un actif sans risque de taux r_f (bon du Trésor). Combiner cet actif avec un portefeuille risqué quelconque trace une droite dans le plan (σ, E[R]). La meilleure droite possible est celle qui part de (0, r_f) et vient tangenter la frontière efficiente : c'est la Capital Market Line (CML), et le point de tangence est le fameux portefeuille tangent.

E[R_p] = r_f + E[R_T] − r_fσ_T σ_p

(4) — CML

La pente de la CML est le ratio de Sharpe du portefeuille tangent : le rendement excédentaire obtenu par unité de risque. Faites varier r_f ci-dessous et observez le point de tangence glisser le long de la frontière.

Figure 2 — Frontière efficiente et CML (univers de 5 actifs)

Frontière calculée en forme fermée à partir de la matrice de covariance de la section 5. Survolez la frontière ou les actifs.

Taux sans risque r_f 2,0 %

Frontière efficiente Branche inefficiente CML Portefeuille tangent T Actifs individuels

Théorème de séparation (Tobin, 1958) Sur la CML, tous les investisseurs détiennent le même portefeuille risqué — le portefeuille tangent — et ne diffèrent que par la part investie dans l'actif sans risque. L'aversion au risque choisit la position sur la droite, pas la composition du panier risqué. Si tout le monde détient le même panier, celui-ci ne peut être, à l'équilibre, que le portefeuille de marché lui-même : c'est le pont qui mène au CAPM.

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Le bêta et la Security Market Line

La CML ne s'applique qu'aux portefeuilles efficients. Pour un titre individuel i — généralement inefficient pris isolément — la bonne mesure de risque n'est pas σ_i mais sa covariance avec le marché, normalisée par la variance du marché :

β_i = Cov(R_i, R_m)Var(R_m)

(5)

Le bêta répond à la question : quand le marché bouge de 1 %, de combien mon titre bouge-t-il en moyenne ? Un bêta de 0 signifie aucune sensibilité au marché ; 1, la même que le marché ; 1,5, une amplification de 50 %. L'équation du CAPM en découle (elle sera démontrée en section 5.4) :

E[R_i] = r_f + β_i ( E[R_m] − r_f )

(6) — CAPM

Représentée dans le plan (β, E[R]), cette relation est une droite : la Security Market Line (SML). À l'équilibre, tout actif correctement évalué doit s'y trouver — titres individuels comme portefeuilles, efficients ou non. C'est ce qui distingue la SML de la CML : la CML vit dans le plan (σ, E[R]) et ne concerne que les portefeuilles efficients ; la SML vit dans le plan (β, E[R]) et concerne tout le monde.

Un titre situé au-dessus de la SML rapporte plus que ce que son risque systématique justifie : il est sous-évalué (son alpha, l'écart vertical à la droite, est positif — les acheteurs vont faire monter son prix et son rendement espéré redescendre vers la droite). Un titre en dessous est surévalué.

Figure 3 — La Security Market Line

Trois titres fictifs avec leur rendement anticipé par les analystes ; l'écart à la SML est leur alpha. Déplacez le bêta du titre témoin, ou changez les paramètres de marché.

Taux sans risque r_f 2,0 %

Prime de marché E[R_m] − r_f 5,0 %

Bêta du titre témoin 1,30

SML Titre témoin (sur la SML) α > 0 : sous-évalué α < 0 : surévalué

Décomposition du risque Le CAPM implique σ_i² = β_i²σ_m² + σ_ε² : une part systématique (rémunérée, portée par le bêta) et une part spécifique σ_ε² (diversifiable, non rémunérée). Deux titres de même bêta ont le même rendement espéré, même si leurs volatilités totales diffèrent énormément.

En pratique, le bêta s'estime par régression linéaire des rendements excédentaires du titre sur ceux du marché (typiquement 36 à 60 mois de données) : R_i − r_f = α_i + β_i(R_m − r_f) + ε_i. Le CAPM prédit α_i = 0 pour tout titre — une prédiction testable, et testée sans relâche depuis cinquante ans (section 6).

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L'optimisation quadratique en dimension `n`

Cette section est le cœur mathématique du tutoriel : nous allons résoudre exactement le problème de Markowitz en dimension quelconque, en déduire l'équation de la frontière efficiente tracée en figure 2, puis démontrer la formule du CAPM. Seul prérequis : un peu de calcul matriciel.

5.1 — Formulation du problème

Soit un univers de n actifs. Notons μ ∈ ℝⁿ le vecteur des rendements espérés, Σ ∈ ℝ^n×n la matrice de covariance (symétrique, définie positive — donc inversible), 1 le vecteur de uns, et w le vecteur des poids du portefeuille. Le problème de Markowitz s'écrit :

min_w ½ w^⊤Σ w sous contraintes μ^⊤w = μ^★ et 1^⊤w = 1

(7)

C'est un programme quadratique : objectif quadratique (la variance ½w^⊤Σw — le facteur ½ est cosmétique, il allège les dérivées), contraintes linéaires (atteindre le rendement cible μ^★, être entièrement investi). Comme Σ est définie positive, l'objectif est strictement convexe : le minimum existe, est unique, et les conditions du premier ordre suffisent à le caractériser. Notez qu'aucune contrainte n'impose w_i ≥ 0 : les ventes à découvert sont autorisées (nous lèverons cette hypothèse en 5.6).

5.2 — Lagrangien et solution en forme fermée

On associe aux deux contraintes les multiplicateurs de Lagrange λ et γ :

ℒ(w, λ, γ) = ½ w^⊤Σ w − λ (μ^⊤w − μ^★) − γ (1^⊤w − 1)

(8)

La condition de stationnarité ∇_wℒ = 0 donne Σw − λμ − γ1 = 0, d'où la forme de la solution :

w^★ = λ Σ⁻¹μ + γ Σ⁻¹1

(9)

Il reste à déterminer λ et γ en réinjectant (9) dans les deux contraintes. Tout s'exprime alors avec quatre scalaires fondamentaux, qui condensent toute la géométrie de l'univers d'investissement :

A = 1^⊤Σ⁻¹1, B = 1^⊤Σ⁻¹μ, C = μ^⊤Σ⁻¹μ, D = AC − B²

(10)

(A > 0 et C > 0 car Σ⁻¹ est définie positive ; D > 0 par l'inégalité de Cauchy–Schwarz dès que μ n'est pas proportionnel à 1.) Les contraintes deviennent le système linéaire 2×2 : λC + γB = μ^★ et λB + γA = 1, dont la solution est :

λ = A μ^★ − BD, γ = C − B μ^★D

(11)

La variance optimale s'obtient élégamment : w^⊤Σw = w^⊤(λμ + γ1) = λμ^★ + γ. En substituant (11), on obtient l'équation de la frontière de variance minimale — une parabole en variance, donc une hyperbole en écart-type :

σ²(μ^★) = A (μ^★)² − 2B μ^★ + CD

(12)

5.3 — Ce que la solution nous apprend

Portefeuille de variance minimale globale (GMV). En minimisant (12) par rapport à μ^★ : μ_gmv = B/A, σ²_gmv = 1/A, et w_gmv = Σ⁻¹1/A — le sommet de l'hyperbole de la figure 2.
Théorème des deux fonds. L'équation (9) montre que tout portefeuille de frontière est combinaison linéaire de deux portefeuilles fixes (Σ⁻¹1/A et Σ⁻¹μ/B, convenablement normalisés). Deux fonds communs bien choisis suffisent donc à reconstituer toute la frontière — quel que soit n.
Sens des multiplicateurs. λ = ½ dσ²/dμ^★ : c'est le prix marginal, en variance, d'un point de rendement supplémentaire. Il est nul au GMV et croît le long de la frontière.

5.4 — Du portefeuille tangent au CAPM

Ajoutons l'actif sans risque et cherchons le portefeuille risqué qui maximise le ratio de Sharpe (μ^⊤w − r_f)/√(w^⊤Σw). Les conditions du premier ordre donnent, après normalisation 1^⊤w = 1 :

w_T = Σ⁻¹(μ − r_f 1)B − A r_f

(13)

C'est le point rouge de la figure 2. Voici maintenant la démonstration du CAPM en trois lignes. À l'équilibre, le portefeuille de marché w_m est le portefeuille tangent (théorème de séparation, section 3). L'équation (13) se réécrit Σ w_m = k (μ − r_f 1) pour un scalaire k > 0. Or :

la ligne i du membre de gauche est (Σw_m)_i = Cov(R_i, R_m) ;
en multipliant à gauche par w_m^⊤ : σ_m² = k (E[R_m] − r_f), ce qui identifie k.

En divisant la ligne i par cette dernière égalité :

E[R_i] − r_f = Cov(R_i, R_m)σ_m² ( E[R_m] − r_f ) = β_i ( E[R_m] − r_f )

(14) — CAPM démontré

La formule du CAPM n'est donc rien d'autre que la condition du premier ordre du programme quadratique, lue ligne à ligne, lorsque le portefeuille optimal est le marché lui-même. Le bêta apparaît naturellement : c'est la contribution marginale de l'actif i à la variance du marché, rapportée à cette variance.

5.5 — Le solveur interactif (n = 5)

Appliquons tout cela à l'univers utilisé pour la figure 2. Volatilités et rendements espérés annuels, et matrice de corrélation (la covariance s'en déduit par σ_ij = ρ_ij σ_i σ_j) :

Actif	E[R]	σ	ρ Obl. État	ρ Crédit	ρ Act. Europe	ρ Act. US	ρ Émergents

Le solveur ci-dessous résout numériquement le système (le calcul de Σ⁻¹1 et Σ⁻¹μ se fait par élimination de Gauss — jamais par inversion explicite en pratique) et applique les formules (9)–(12). Choisissez un rendement cible μ^★ et observez les poids optimaux se déformer : pour des cibles ambitieuses, le programme vend à découvert les actifs peu rentables afin de financer un levier sur les autres.

Figure 4 — Solveur de Markowitz en dimension n = 5

À gauche : poids optimaux w(μ★) — les barres négatives sont des ventes à découvert. À droite : position du portefeuille sur la frontière.

Rendement cible μ★ 7,0 %

5.6 — Au-delà des contraintes d'égalité

Dès que l'on ajoute des contraintes d'inégalité — interdiction de vente à découvert (w ≥ 0), plafonds par actif ou par secteur (Gw ≤ h) — la forme fermée disparaît. Le problème reste un programme quadratique convexe :

min_w ½ w^⊤Σ w s.c. A_eqw = b, Gw ≤ h

(15)

et se résout par les conditions de Karush–Kuhn–Tucker (KKT), généralisation du lagrangien : à l'optimum, chaque contrainte d'inégalité est soit saturée (active, avec un multiplicateur ≥ 0), soit inactive (multiplicateur nul) — c'est la complémentarité. Les algorithmes classiques :

Ensembles actifs (dont l'algorithme de la ligne critique de Markowitz, 1956) : on devine quelles contraintes sont saturées, on résout le sous-problème d'égalité en forme fermée comme en 5.2, et on met à jour l'ensemble actif jusqu'à satisfaire KKT. La frontière devient alors affine par morceaux dans les poids : chaque segment correspond à un ensemble actif donné.
Points intérieurs : on suit un chemin central à l'intérieur du domaine réalisable ; complexité polynomiale, méthode de choix pour n grand.
En pratique : cvxpy, OSQP, quadprog, Gurobi… résolvent (15) en millisecondes pour des milliers d'actifs.

Enfin, un avertissement d'ingénieur : la solution w^★ = f(Σ⁻¹, μ) est très sensible aux erreurs d'estimation, surtout sur μ — l'optimiseur amplifie le bruit (« error maximizer », selon le mot de Michaud). D'où les remèdes usuels : rétrécissement de la covariance (Ledoit–Wolf), régularisation, approche bayésienne de Black–Litterman, ou contraintes de poids qui, paradoxalement, améliorent souvent la performance hors échantillon.

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Portée et limites

Le CAPM reste omniprésent : calcul du coût des fonds propres (via le bêta) pour l'actualisation des flux, taux d'actualisation réglementaires, mesure de performance ajustée du risque (alpha de Jensen, ratio de Treynor), benchmark de toute la littérature sur les anomalies. Mais empiriquement, il est fragile :

La critique de Roll (1977). Le « portefeuille de marché » théorique inclut tous les actifs risqués — immobilier, capital humain, actifs non cotés. Il est inobservable ; tester le CAPM avec un indice actions revient à tester la seule efficience de cet indice. Le CAPM serait donc, stricto sensu, intestable.
La droite empirique est trop plate. Depuis Black, Jensen et Scholes (1972), on observe que les titres à faible bêta rapportent plus que prévu et les forts bêtas moins : la SML mesurée a une pente inférieure à la prime de marché.
Les anomalies. Fama et French (1992) montrent que la taille et le ratio valeur comptable/valeur de marché expliquent les rendements bien mieux que le bêta — d'où leur modèle à trois facteurs (1993), puis cinq (2015), et plus largement les modèles multifactoriels (APT de Ross, 1976 ; momentum de Carhart, 1997).
Des bêtas instables. Le bêta estimé varie selon la fenêtre, la fréquence et l'indice choisis — gênant pour un paramètre censé être structurel.

Le verdict équilibré : comme description fine des rendements, le CAPM est dépassé par les modèles multifactoriels. Comme cadre conceptuel — seul le risque non diversifiable est rémunéré, le prix du risque est le ratio de Sharpe du marché, l'optimum individuel s'obtient par un programme quadratique — il reste le socle sur lequel toute la finance moderne est bâtie, et la première chose qu'un praticien doit maîtriser.

Pour aller plus loin

H. Markowitz, Portfolio Selection, Journal of Finance, 1952.
W. Sharpe, Capital Asset Prices: A Theory of Market Equilibrium under Conditions of Risk, Journal of Finance, 1964.
R. Merton, An Analytic Derivation of the Efficient Portfolio Frontier, JFQA, 1972 — la source des formules de la section 5.
E. Fama & K. French, The Cross-Section of Expected Stock Returns, Journal of Finance, 1992.
S. Boyd & L. Vandenberghe, Convex Optimization, Cambridge University Press, 2004 — pour les méthodes KKT et points intérieurs.

Produits dérivés

Black-Scholes, le prix de l'incertitude

Comment donner un prix aujourd'hui à un droit qui ne vaudra quelque chose que demain, et seulement si le marché monte ? En 1973, Fischer Black, Myron Scholes et Robert Merton répondent par un argument de réplication d'une élégance radicale — et fondent la finance des dérivés moderne.

C = S₀ N(d₁) − K e^−rT N(d₂)

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Qu'est-ce qu'une option ?

Un call (option d'achat) européen donne le droit, mais pas l'obligation, d'acheter un actif au prix d'exercice K à l'échéance T. Un put (option de vente) donne le droit de vendre. À l'échéance, la valeur est connue sans ambiguïté :

Call : max(S_T − K, 0) · Put : max(K − S_T, 0)

(B1)

Toute la difficulté est avant l'échéance : que vaut ce droit aujourd'hui, alors que S_T est inconnu ? L'intuition naïve — actualiser le gain espéré — bute immédiatement sur une question : à quel taux actualiser un flux aussi risqué ? Il faudrait connaître la prime de risque exigée… et l'on retombe sur le problème que le CAPM tente de résoudre. Le coup de génie de Black, Scholes et Merton est de contourner entièrement cette question : on peut répliquer l'option avec un portefeuille d'actions et de cash ajusté en continu, et le prix de la réplique, lui, ne dépend d'aucune préférence pour le risque. Merton et Scholes recevront le prix Nobel en 1997 (Black, décédé en 1995, est cité par le comité).

Les hypothèses du modèle Le sous-jacent suit un mouvement brownien géométrique à volatilité σ constante ; le taux sans risque r est constant ; pas de dividendes (dans la version de base) ; marchés sans frictions (pas de coûts de transaction, vente à découvert libre, actif divisible) ; et surtout, possibilité de réajuster la couverture en continu. Chaque hypothèse sera écornée par la réalité (section 5) — mais la structure du raisonnement survit.

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Le mouvement brownien géométrique

Le modèle décrit le prix S_t par une équation différentielle stochastique : une dérive déterministe μ plus un bruit brownien d'amplitude proportionnelle au prix :

dS_t = μ S_t dt + σ S_t dW_t

(B2)

Le lemme d'Itô — la règle de dérivation en environnement brownien, où (dW)² = dt ne peut être négligé — en donne la solution explicite :

S_T = S₀ exp( (μ − ½σ²) T + σ W_T )

(B3)

Le prix terminal est donc log-normal : toujours positif, asymétrique à droite. Notez le terme correctif −½σ² : la trajectoire médiane croît au taux μ − ½σ², plus lentement que l'espérance E[S_T] = S₀e^μT. La volatilité « mange » de la croissance typique — quelques grandes trajectoires tirent la moyenne vers le haut. Augmentez σ ci-dessous et regardez la médiane décrocher de l'espérance.

Figure B1 — Trajectoires simulées du mouvement brownien géométrique

40 trajectoires sur un an (S₀ = 100, pas journalier). Les tirages aléatoires sont figés : seuls vos paramètres changent, ce qui isole leur effet.

Dérive μ 7,0 %

Volatilité σ 20 %

Trajectoires simulées Espérance S₀e^μt Médiane S₀e^{(μ−σ²/2)t}

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La formule et sa logique

3.1 — L'argument de réplication

Constituons un portefeuille : vendre une option, de valeur V(S, t), et acheter Δ = ∂V/∂S actions. Sur un instant dt, le lemme d'Itô montre que les termes en dW — tout l'aléa ! — se compensent exactement. Un portefeuille sans risque doit rapporter le taux sans risque r, sous peine d'arbitrage. Il en résulte l'équation aux dérivées partielles de Black-Scholes :

∂V∂t + ½σ²S² ∂²V∂S² + r S ∂V∂S − r V = 0

(B4)

Le fait capital : μ a disparu. Le rendement espéré du sous-jacent — le paramètre le plus difficile à estimer de toute la finance, celui autour duquel tourne tout le CAPM — n'entre pas dans le prix de l'option. La couverture l'a éliminé. Tout se passe comme si les investisseurs étaient neutres au risque : on peut calculer le prix comme l'espérance du payoff actualisée au taux sans risque, sous une probabilité « risque-neutre » où le sous-jacent dérive à r. C'est le principe d'évaluation risque-neutre.

3.2 — La solution

Avec le payoff terminal (B1) comme condition aux limites, l'EDP (B4) se résout en forme fermée :

C = S₀ N(d₁) − K e^−rT N(d₂)

(B5)

d₁ = ln(S₀/K) + (r + ½σ²) Tσ √T, d₂ = d₁ − σ √T

(B6)

où N(·) est la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite. La lecture probabiliste est limpide : N(d₂) est la probabilité risque-neutre d'exercice (finir dans la monnaie), donc Ke^−rTN(d₂) est la valeur actuelle de ce que vous paierez ; et S₀N(d₁) est la valeur actuelle de l'action que vous recevrez si exercice. Le put s'obtient sans nouveau calcul par la parité call-put — une pure relation d'arbitrage, valable indépendamment de tout modèle :

C − P = S₀ − K e^−rT ⟹ P = K e^−rT N(−d₂) − S₀ N(−d₁)

(B7)

Explorez la formule ci-dessous. Réduisez T vers zéro : la courbe de valeur vient épouser le payoff anguleux. Augmentez σ : la valeur monte partout — plus d'incertitude, c'est plus de potentiel à la hausse alors que la perte reste bornée. C'est la convexité, l'essence économique de l'option.

Figure B2 — La valeur de l'option selon Black-Scholes (K = 100)

Courbe de valeur aujourd'hui contre payoff à l'échéance. Survolez la courbe ; le point rouge marque votre S₀.

Prix spot S₀ 100

Volatilité σ 20 %

Maturité T 1,00 an

Taux r 2,0 %

Valeur Black-Scholes Payoff à l'échéance Votre position S₀

4

Les grecques : les sensibilités du prix

Le prix ne suffit pas : pour couvrir une option, il faut savoir comment il bouge. Les dérivées partielles de V — les « grecques » — sont le tableau de bord de tout trader d'options (formules données pour un call) :

Grecque	Définition	Formule (call)	Lecture
Delta Δ	∂V/∂S	N(d₁)	Nombre d'actions de la couverture ; entre 0 et 1.
Gamma Γ	∂²V/∂S²	φ(d₁)/(S σ√T)	Vitesse de dérive de la couverture ; maximal à la monnaie, explose près de l'échéance.
Vega	∂V/∂σ	S φ(d₁)√T	Sensibilité à la volatilité ; toujours positif (convexité).
Thêta Θ	∂V/∂t	−Sφ(d₁)σ/(2√T) − rKe⁻ʳᵀN(d₂)	Érosion du temps ; ce que paie, jour après jour, le détenteur de la convexité.
Rhô ρ	∂V/∂r	K T e⁻ʳᵀ N(d₂)	Sensibilité au taux d'intérêt.

(φ désigne la densité normale.) La relation Γ/Θ est le cœur du métier : détenir de la convexité (Γ > 0) coûte du temps (Θ < 0) — l'EDP (B4) dit précisément que, sur une position couverte en delta, le gain espéré du gamma paie exactement le thêta. Explorez chaque grecque en fonction du prix spot :

Figure B3 — Les grecques en fonction du prix spot (K = 100, r = 2 %)

Choisissez une grecque, puis rapprochez la maturité de zéro : le gamma se concentre en pic autour du strike.

Volatilité σ 20 %

Maturité T 0,50 an

5

Volatilité implicite et limites

Dans la formule (B5), tout est observable — S₀, K, T, r — sauf un paramètre : σ. Le marché a donc inversé l'usage du modèle : partant du prix coté d'une option, on résout numériquement (B5) pour trouver la volatilité implicite, l'unique σ qui reproduit ce prix (l'unicité est garantie car le vega est strictement positif). Black-Scholes est ainsi devenu moins un modèle de prix qu'une langue de cotation : les traders ne s'échangent pas des euros, ils s'échangent des points de volatilité.

Et cette langue révèle les limites du modèle. Si le monde était réellement log-normal à σ constant, la volatilité implicite serait la même pour tous les strikes et toutes les maturités. Or depuis le krach d'octobre 1987, on observe un smile (ou plutôt un skew pour les actions) : les puts très en dehors de la monnaie se paient nettement plus cher que le modèle ne le justifie — le marché tarife les krachs, c'est-à-dire les sauts et les queues épaisses que le brownien géométrique ignore.

Volatilité non constante → modèles à volatilité stochastique (Heston, 1993) ou locale (Dupire, 1994), aujourd'hui standard sur les desks exotiques.
Sauts de prix → modèles à sauts (Merton, 1976) ; la couverture continue devient impossible en présence de sauts.
Frictions réelles → coûts de transaction et rebalancement discret : la réplication n'est qu'approchée, le résidu est un vrai risque.

Le pont avec le CAPM Les deux modèles répondent à la même question — que vaut un flux risqué ? — par deux stratégies opposées. Le CAPM tarife le risque : il exige d'estimer la prime de marché et le bêta, et le rendement espéré μ est au centre de tout. Black-Scholes élimine le risque par couverture dynamique : μ disparaît, aucune prime de risque n'est nécessaire, seule compte la volatilité. Quand la réplication parfaite est possible, le prix est fixé par arbitrage et les préférences n'ont plus voix au chapitre ; quand elle ne l'est pas (marché incomplet), les primes de risque — donc l'esprit du CAPM — reprennent leurs droits.

Pour aller plus loin

F. Black & M. Scholes, The Pricing of Options and Corporate Liabilities, Journal of Political Economy, 1973.
R. Merton, Theory of Rational Option Pricing, Bell Journal of Economics, 1973.
J. Hull, Options, futures et autres actifs dérivés, Pearson — la référence pédagogique.
S. Shreve, Stochastic Calculus for Finance II, Springer, 2004 — pour le calcul d'Itô et l'évaluation risque-neutre en toute rigueur.
E. Derman, My Life as a Quant, Wiley, 2004 — le smile raconté de l'intérieur.

Méthodes numériques

Pricer : quatre chemins vers le même prix

Formule fermée, arbre binomial, différences finies, Monte Carlo : toutes ces méthodes calculent la même chose — une espérance actualisée sous la probabilité risque-neutre. Ce qui les distingue, c'est le type de produit qu'elles savent traiter, leur vitesse et leur précision. Ce tutoriel les implémente toutes les quatre, en direct, sur la même option.

V₀ = e^−rT E_Q[ payoff(S) ]

1

Pourquoi plusieurs méthodes ?

L'onglet Black-Scholes a établi le principe : le prix d'un dérivé est l'espérance de son payoff actualisée au taux sans risque, calculée sous la probabilité risque-neutre Q (celle où le sous-jacent dérive à r). Toute la question du pricing est donc : comment calculer cette espérance ?

V₀ = e^−rT E_Q[ payoff ] ⟺ EDP de Black-Scholes (B4)

(P1)

L'équivalence entre les deux membres — l'espérance et l'EDP — est le théorème de Feynman-Kac : résoudre l'équation aux dérivées partielles ou intégrer contre la densité risque-neutre sont deux faces du même calcul. Chaque méthode numérique attaque l'une de ces faces. En pratique, le choix dépend du produit :

Méthode	Idée	Options américaines	Dépendance au chemin	Haute dimension	Vitesse
Formule fermée	Intégrale résolue à la main	non	cas particuliers	non	instantanée
Arbre binomial	Discrétiser l'aléa	naturel	difficile	non (1–2 actifs)	rapide
Différences finies	Discrétiser l'EDP	naturel	via variables d'état	non (1–3 dim.)	rapide, grecques précises
Monte Carlo	Simuler l'espérance	difficile (Longstaff-Schwartz)	naturel	naturel	lente : erreur en 1/√N

Fil rouge des sections suivantes : la même option (S₀ = K = 100, σ = 20 %, r = 2 %, T = 1 an), pricée par les quatre chemins. La formule fermée donne 8,916 — chaque méthode numérique devra y converger, et vous verrez comment elle y converge.

2

Formules fermées : le luxe rare

Quand l'intégrale (P1) se calcule à la main, le résultat est imbattable : évaluation en microsecondes, précision machine, grecques analytiques. C'est pour cela que la calibration des modèles — qui exige des milliers d'évaluations — s'appuie autant que possible sur des formules fermées ou semi-fermées. Le catalogue est court mais précieux :

Black-Scholes (1973) — calls et puts européens ; variante de Black (1976) pour les options sur futures, et extension à un rendement de dividende continu q (remplacer S₀ par S₀e^−qT).
Margrabe (1978) — option d'échanger un actif contre un autre : l'astuce du changement de numéraire fait disparaître le taux.
Barrières continues, lookbacks, asiatiques géométriques — formules exactes par le principe de réflexion du brownien.
Heston (1993) — volatilité stochastique : formule semi-fermée via une intégrale de Fourier, évaluée numériquement mais très vite (méthode de Carr-Madan, 1999, par FFT).

Dès qu'on s'écarte de ce catalogue — exercice américain, payoff sur trajectoire arbitraire, panier de dix actifs, volatilité locale calibrée — l'intégrale n'a plus de forme close et il faut discrétiser. Trois stratégies s'offrent alors : discrétiser l'aléa (arbres), discrétiser l'équation (différences finies), ou discrétiser l'espérance (Monte Carlo).

3

Arbres binomiaux : discrétiser l'aléa

L'idée de Cox, Ross et Rubinstein (1979) : remplacer le brownien par le hasard le plus simple qui soit. Sur chaque pas de temps Δt = T/n, le prix monte d'un facteur u ou baisse d'un facteur d = 1/u. Pour retrouver la volatilité et l'absence d'arbitrage :

u = e^σ√Δt, d = 1/u, p = e^rΔt − du − d

(P2)

p est la probabilité risque-neutre de hausse — remarquez qu'ici encore, aucune opinion sur la dérive réelle n'est requise. Le pricing se fait par induction rétrograde : on part des payoffs terminaux, connus, et on remonte l'arbre nœud par nœud :

V = e^−rΔt [ p V_haut + (1−p) V_bas ] · américaine : V = max( continuation , exercice )

(P3)

La ligne « américaine » est le grand atout de la méthode : à chaque nœud, on compare la valeur de continuation à la valeur d'exercice immédiat — comparaison impossible dans une formule fermée. Explorez l'arbre : en mode put américain, les nœuds cerclés de rouge sont ceux où l'exercice anticipé est optimal.

Figure P1 — L'arbre binomial nœud par nœud (S₀ = K = 100, σ = 30 %, r = 3 %, T = 1 an)

Prix du sous-jacent au-dessus de chaque nœud, valeur de l'option en dessous. Survolez un nœud pour comparer continuation et exercice.

Pas de temps n 4

Nœud (valeur de l'option) Exercice anticipé optimal

Quelques pas suffisent pour comprendre la mécanique, mais combien en faut-il pour un prix juste ? La figure suivante trace le prix CRR en fonction de n : la convergence vers la valeur exacte est en O(1/n), avec l'oscillation caractéristique en dents de scie (le strike tombe alternativement sur un nœud ou entre deux nœuds). Pour le put américain, il n'existe pas de formule fermée : la référence est elle-même un arbre très fin — c'est l'arbre qui fait foi.

Figure P2 — Convergence de l'arbre vers le prix exact (S₀ = K = 100, σ = 20 %, r = 2 %, T = 1)

Prix CRR pour n = 2 à 150 pas. Survolez la courbe pour lire l'erreur.

Prix CRR(n) Prix de référence

4

Différences finies : discrétiser l'EDP

Deuxième stratégie : résoudre directement l'EDP de Black-Scholes (B4) sur une grille — l'axe des prix découpé en M mailles, le temps en pas Δt — en remplaçant les dérivées par des différences entre points voisins. En notant A la matrice (tridiagonale) de l'opérateur spatial discrétisé, le schéma de Crank-Nicolson — moyenne des schémas explicite et implicite — s'écrit :

( I − ½A ) V^m+1 = ( I + ½A ) V^m

(P4)

Chaque pas de temps coûte la résolution d'un système tridiagonal — algorithme de Thomas, O(M) opérations — et le schéma est inconditionnellement stable et précis à l'ordre 2 en temps comme en espace. Comme l'arbre, on part du payoff à l'échéance et on remonte le temps ; pour une option américaine, on projette après chaque pas : V ← max(V, payoff).

La figure ci-dessous résout l'EDP en direct (grille de 150 mailles, schéma de Crank-Nicolson, projection américaine le cas échéant). Le curseur remonte le temps : à τ = 0 vous voyez le payoff anguleux, puis la diffusion lisse le coin au fur et à mesure que l'échéance s'éloigne — l'EDP de Black-Scholes est une équation de la chaleur déguisée, et cela se voit.

Figure P3 — Résolution de l'EDP par Crank-Nicolson (K = 100, σ = 20 %, r = 2 %)

La grille est recalculée à chaque mouvement du curseur. En mode put américain, la courbe pointillée aqua est le put européen : l'écart est la prime d'exercice anticipé.

Temps restant τ 1,00 an

Solution numérique V(S, τ) Payoff (τ = 0) Référence analytique (européen)

L'atout maître des différences finies : la solution est obtenue sur toute la grille d'un coup — pour tous les prix spot et toutes les dates. Delta et gamma se lisent directement comme différences entre mailles voisines, sans recalcul : c'est la méthode préférée des desks pour les produits à une ou deux dimensions exigeant des grecques propres. Sa limite est la malédiction de la dimension : une grille à d actifs coûte M^d points — impraticable au-delà de 3.

5

Monte Carlo : discrétiser l'espérance

Troisième stratégie, la plus brutale et la plus générale : puisque le prix est une espérance, simulons. On tire N trajectoires du sous-jacent sous la probabilité risque-neutre (dérive r, pas μ !), on calcule le payoff de chacune, et on actualise la moyenne :

V_N = e^−rT 1N Σ_k payoff(S^(k)) , erreur type ≈ σ_payoff√N

(P5)

La loi des grands nombres garantit la convergence, et le théorème central limite donne gratuitement un intervalle de confiance : l'estimateur vaut le prix vrai à ±1,96 erreur-type près, 95 fois sur 100. Le défaut est dans le √N : pour gagner une décimale, il faut cent fois plus de tirages. D'où l'arsenal de réduction de variance — la figure ci-dessous montre la plus simple, les variables antithétiques : chaque tirage Z est apparié à −Z, ce qui annule le bruit impair du payoff.

Figure P4 — L'estimateur Monte Carlo converge en 1/√N (call européen, réf. 8,916)

Moyenne cumulée sur 100 000 tirages (échelle horizontale logarithmique), avec bande de confiance à 95 %. Activez les antithétiques et comparez la largeur de la bande.

Estimation cumulée Intervalle de confiance 95 % Prix exact (formule fermée)

Ce que Monte Carlo fait mieux que tout le monde : les payoffs dépendants du chemin (asiatiques, barrières discrètes, autocalls — chaque trajectoire simulée porte toute son histoire) et la haute dimension (un panier de 50 actions se simule aussi facilement qu'une seule ; l'erreur en 1/√N ne dépend pas de la dimension). Ce qu'il fait mal : l'exercice américain, car la valeur de continuation n'est pas observable sur une trajectoire isolée — l'algorithme de Longstaff-Schwartz (2001) la reconstruit par régression sur l'ensemble des trajectoires, au prix d'un biais délicat à contrôler.

6

Choisir sa méthode

Les règles de décision d'un desk, en quatre lignes :

Le produit est dans le catalogue fermé ? Formule fermée, sans discussion — surtout pour la calibration, qui en appelle des milliers.
Américain ou bermudéen, 1 à 2 sous-jacents ? Arbre ou différences finies ; ces dernières l'emportent quand il faut des grecques stables et toute la nappe de prix.
Path-dependent ou panier de dimension > 3 ? Monte Carlo, avec réduction de variance (antithétiques, variables de contrôle, quasi-aléatoire de Sobol).
Américain et haute dimension ? Le cas dur : Longstaff-Schwartz, et beaucoup de soin.

Le même prix, toujours Sur notre call de référence : formule fermée 8,916 · arbre CRR(150) ≈ 8,90 · Crank-Nicolson ≈ 8,91 · Monte Carlo 100 000 tirages ≈ 8,92 ± 0,09. Quatre algorithmes sans rien en commun — une intégrale, une récurrence, un système linéaire, une simulation — et un seul prix : c'est la cohérence interne de l'évaluation risque-neutre, le théorème de Feynman-Kac rendu tangible.

Au-delà : le pricing moderne

Quasi-Monte Carlo — suites de Sobol à discrépance faible : convergence proche de 1/N au lieu de 1/√N pour les payoffs réguliers.
Transformées de Fourier (Carr-Madan, COS) — pricing par FFT dès que la fonction caractéristique du modèle est connue (Heston, modèles à sauts) : des surfaces entières en millisecondes.
Différentiation algorithmique adjointe (AAD) — toutes les grecques d'un Monte Carlo pour le coût de quelques évaluations : la révolution silencieuse des années 2010.
Apprentissage statistique — réseaux de neurones comme approximateurs de pricers (« deep pricing ») et de stratégies de couverture (« deep hedging ») : on paie l'entraînement une fois, l'évaluation devient instantanée.

Pour aller plus loin

J. Cox, S. Ross & M. Rubinstein, Option Pricing: A Simplified Approach, Journal of Financial Economics, 1979.
P. Glasserman, Monte Carlo Methods in Financial Engineering, Springer, 2003 — la bible de la simulation.
D. Tavella & C. Randall, Pricing Financial Instruments: The Finite Difference Method, Wiley, 2000.
F. Longstaff & E. Schwartz, Valuing American Options by Simulation, Review of Financial Studies, 2001.

Produits · Equity derivatives

Les dérivés actions, du vanille à l'exotique

Un desk equity derivatives ne vend pas que des calls : il sculpte des payoffs. Ce tutoriel passe en revue la palette — vanilles et leurs combinaisons, barrières, asiatiques, swaps de variance, dispersion, equity et dividend swaps — avec, pour chacun, trois questions : quel payoff, pour quel besoin, et comment ça se price.

payoff = f ( trajectoire de S )

1

Vanilles et combinaisons : l'alphabet des payoffs

Les calls et puts européens sont les briques élémentaires : liquides, cotés en continu, pricés par Black-Scholes (onglet dédié). Leur vraie puissance est combinatoire — en les empilant, on dessine à peu près n'importe quel profil de gain. Chaque combinaison exprime une vue : direction, amplitude, ou absence de mouvement. Explorez la galerie :

Figure E1 — Galerie de payoffs (K autour de 100, σ = 20 %, r = 2 %, T = 1 an)

Trait plein : payoff à l'échéance. Pointillé : profit net, prime payée déduite (calculée par Black-Scholes) — c'est lui qui dit où vous gagnez vraiment.

Payoff à l'échéance Profit net de prime

Qui achète quoi ? Le call spread (achat K₁, vente K₂ > K₁) finance une vue haussière en plafonnant le gain — le produit directionnel le plus vendu aux entreprises et aux particuliers. Le straddle (call + put même strike) achète du mouvement sans direction : c'est un pari sur la volatilité réalisée. Le butterfly vend le mouvement : il gagne si le spot finit près du strike central. La digitale paie un montant fixe si S_T > K — brique de base des produits structurés, et casse-tête de couverture : son delta explose près du strike à l'échéance (les desks la couvrent en pratique par un call spread serré).

Côté pricing, tout ce qui précède est statique : une somme de vanilles se price comme la somme de ses briques Black-Scholes (avec, en pratique, la volatilité implicite propre à chaque strike — le smile de l'onglet Black-Scholes, section 5). Les sections suivantes quittent ce confort : le payoff dépend de la trajectoire, et le pricing devient numérique.

2

Options à barrière : le vanille conditionnel

Une option à barrière est un call ou un put qui naît ou meurt selon que le spot touche un niveau H pendant la vie du produit. Quatre familles : knock-out (l'option meurt au toucher : up-and-out, down-and-out) et knock-in (elle naît au toucher : up-and-in, down-and-in). La relation de parité in + out = vanille lie les deux : détenir le knock-in et le knock-out de mêmes caractéristiques, c'est détenir le vanille.

L'intérêt est le prix : renoncer aux scénarios extrêmes rend l'option nettement moins chère — c'est l'ingrédient qui permet aux produits structurés d'afficher des conditions attrayantes (le « airbag » d'un autocall est un put down-and-in vendu par le client). Sous Black-Scholes à barrière continue, il existe des formules fermées (principe de réflexion) ; en pratique — barrières discrètes, smile — on price par Monte Carlo ou différences finies. La simulation ci-dessous montre la mécanique : montez la barrière et regardez le prix du knock-out converger vers le vanille.

Figure E2 — Call up-and-out par Monte Carlo (S₀ = K = 100, σ = 20 %, r = 2 %, T = 1 an)

60 trajectoires affichées ; les rouges touchent la barrière et tuent l'option. Le prix est estimé sur 8 000 trajectoires (constatation journalière).

Barrière H 130

Trajectoire survivante Trajectoire désactivée (touche H) Barrière H

Le revers de la médaille : près de la barrière, les grecques deviennent violentes. Le delta d'un up-and-out change de signe (l'option souffre quand le spot monte vers H), et le gamma explose à l'approche de la barrière en fin de vie — les desks paient ce risque en « barrier shifts » (ils pricent avec une barrière légèrement décalée pour se ménager une marge de couverture).

3

Options asiatiques : le payoff sur moyenne

L'option asiatique remplace le prix terminal par la moyenne du prix sur des dates de constatation : payoff = max(S − K, 0) avec S = (1/m) Σ S_{t_j}. Deux motivations :

Coller au besoin réel. Un industriel qui achète du sous-jacent chaque mois est exposé au prix moyen, pas au fixing d'un jour donné. L'asiatique est l'option naturelle des trésoriers, des matières premières et du change.
Coût et manipulation. La moyenne est moins volatile que le prix terminal (σ_moyenne ≈ σ/√3 pour une moyenne continue) : l'option est nettement moins chère, et le fixing moyen est plus difficile à manipuler qu'un fixing unique.

Pricing : la moyenne arithmétique d'une log-normale n'est pas log-normale — pas de formule fermée. On price par Monte Carlo (chaque trajectoire porte sa moyenne, la méthode est taillée pour ça), souvent avec l'asiatique géométrique — qui, elle, a une formule exacte — comme variable de contrôle : l'exemple canonique de réduction de variance. La figure compare les prix :

Figure E3 — Asiatique contre vanille selon la volatilité (S₀ = K = 100, r = 2 %, T = 1 an)

Call asiatique à moyenne arithmétique (Monte Carlo, 8 000 trajectoires antithétiques) contre call vanille (formule fermée). L'écart, c'est la volatilité de la moyenne.

Call vanille (Black-Scholes) Call asiatique (Monte Carlo)

4

Swaps de variance et de volatilité : trader σ en direct

Acheter un straddle donne de la volatilité, mais polluée par le chemin du spot (il faut le re-couvrir en delta sans cesse). Le swap de variance offre l'exposition pure : à l'échéance, il échange la variance réalisée contre un strike fixé au départ,

payoff = N_var × ( σ²_réalisée − K²_var ), σ²_réalisée = 252m Σ_j (ln S_jS_j−1)²

(E1)

Le résultat remarquable (Neuberger 1994, Demeterfi et al. 1999) : ce payoff se réplique statiquement par un portefeuille d'options vanilles de tous les strikes, pondérées en 1/K², plus une position delta. La variance est donc un actif traitable, et son prix de marché — la variance implicite intégrée sur le smile — est précisément ce que capture l'indice VIX.

K²_var = 2 e^rTT ∫ puts et calls OTM (K)K² dK

(E2)

Le swap de volatilité paie (σ_réalisée − K_vol) — en vol, pas en variance. Plus intuitif pour le client, mais plus délicat pour le desk : la racine carrée est concave, donc pas de réplication statique, et le strike juste vaut moins que la racine du strike de variance — encore un ajustement de convexité (l'inégalité de Jensen, que vous retrouverez dans l'onglet Taux). La figure montre pourquoi le vendeur de swap de variance doit se méfier des queues :

Figure E4 — P&L à l'échéance : swap de variance contre swap de volatilité

Notionnels normalisés (même vega au strike). La parabole de la variance amplifie les scénarios extrêmes — dans les deux sens.

Strike de volatilité K_vol 20 %

Swap de variance (payoff en σ²) Swap de volatilité (payoff en σ)

5

Dispersion : trader la corrélation

La variance d'un indice n'est pas la moyenne des variances de ses membres — elle dépend de leurs corrélations :

σ²_indice = Σ_i w_i²σ_i² + Σ_i≠j w_iw_j ρ_ij σ_iσ_j

(E3)

En inversant cette relation avec des volatilités implicites, on obtient la corrélation implicite du marché des options. Constat empirique persistant : elle est presque toujours plus haute que la corrélation réalisée ensuite — le marché surpaie la corrélation, car tout le monde achète de la protection indicielle et personne n'en vend.

Le trade de dispersion exploite cet écart : vendre la volatilité de l'indice (chère) et acheter les volatilités des composants (moins chères), via straddles ou swaps de variance. Si les titres bougent beaucoup mais dans des directions dispersées, l'indice reste calme : les jambes longues gagnent, la jambe courte ne perd pas — le trade est long dispersion, donc short corrélation. Son risque est le krach : dans une panique, toutes les corrélations montent vers 1 en même temps que les volatilités, et les deux jambes perdent ensemble. Le pricing des produits de corrélation (options sur panier, worst-of des autocalls) se fait par Monte Carlo multi-sous-jacent — le domaine où la simulation n'a pas de rival.

6

Equity swaps et dividend swaps : les briques de flux

6.1 — L'equity swap (total return swap)

Contrat bilatéral : une jambe paie la performance totale d'une action ou d'un indice (variation de prix + dividendes), l'autre paie un taux (référence monétaire ± spread). Aucun capital n'est échangé : c'est de l'exposition synthétique. Usages : prendre position sans détenir le titre (contraintes réglementaires, fiscales, d'accès au marché local), se financer (le détenteur d'un portefeuille le « swappe » contre du cash), ou construire des trackers synthétiques. Le pricing est essentiellement actuariel — actualisation des flux attendus sur la courbe de taux — plus la gestion fine du repo et des dividendes ; pas d'optionalité, donc pas de volatilité.

6.2 — Le dividend swap

Payoff : la somme des dividendes effectivement versés par un indice sur une année, contre un strike fixé au départ. Le produit isole une variable que le vanille mélange à tout le reste : les dividendes futurs. Il existe en format coté (futures sur dividendes Euro Stoxx 50, très liquides jusqu'à ~10 ans).

Son histoire dit quelque chose du marché : les banques structurantes sont structurellement longues de dividendes — chaque autocall vendu aux particuliers les laisse détenteurs des dividendes anticipés du sous-jacent pendant la vie du produit. Les dividend swaps sont nés pour recycler ce risque vers les investisseurs. Résultat : la courbe des dividendes implicites est souvent décotée par rapport aux anticipations des analystes — une prime de risque de flux, cousin conceptuel de la prime de risque du CAPM.

Vue d'ensemble du pricing Vanilles et combinaisons → formules fermées sur le smile. Barrières et digitales → différences finies ou Monte Carlo, avec soin sur les grecques près des discontinuités. Asiatiques, paniers, worst-of, autocalls → Monte Carlo (variables de contrôle, quasi-aléatoire). Variance swaps → réplication statique par le strip (E2). Equity et dividend swaps → actualisation de flux, sans optionalité. La hiérarchie de l'onglet Pricing se retrouve trait pour trait.

Pour aller plus loin

K. Demeterfi, E. Derman, M. Kamal & J. Zou, More Than You Ever Wanted to Know About Volatility Swaps, Goldman Sachs QS, 1999.
P. Wilmott, Paul Wilmott on Quantitative Finance, Wiley — barrières, asiatiques et exotiques avec les EDP.
S. Bossu, Advanced Equity Derivatives: Volatility and Correlation, Wiley, 2014 — dispersion et corrélation implicite.

Marchés de taux

Les taux d'intérêt, de la courbe au CMS

Tout actif financier s'actualise : la courbe des taux est l'infrastructure de tous les autres onglets. Ce tutoriel construit la courbe à partir des instruments qui la définissent — dépôts, FRA, futures, swaps —, puis monte jusqu'aux subtilités qui font le quotidien des desks de taux : le CMS et l'ajustement de convexité.

P(0, T) = e^{−z(T) · T} — le prix du temps

1

Zéro-coupons et conventions de taux

L'objet fondamental n'est pas un taux mais un prix : le facteur d'actualisation P(0, T), valeur aujourd'hui d'un euro certain versé en T. Toute la courbe des taux n'est qu'une famille de tels prix, et un « taux » n'est jamais qu'une convention d'affichage de P(0, T) :

linéaire (monétaire) : P = 11 + L·T · actuariel : P = 1(1 + y)^T · continu : P = e^{−z T}

(R1)

Le taux linéaire règne sur le court terme (dépôts, Euribor, €STR), l'actuariel sur les obligations, le continu sur les modèles. Même prix, trois affichages — les confondre est l'erreur de débutant la plus coûteuse du marché.

De deux zéro-coupons on déduit le taux forward, le taux auquel le marché « promet » aujourd'hui d'emprunter entre T₁ et T₂ :

f(T₁, T₂) = 1T₂ − T₁ ( P(0, T₁)P(0, T₂) − 1 )

(R2)

Ce n'est pas une prévision : c'est le taux garanti par arbitrage (emprunter long, prêter court). Les forwards amplifient la forme de la courbe : une courbe légèrement pentue cache des forwards très pentus — la figure R1 le montre crûment.

2

Les instruments de la courbe

La courbe n'est pas donnée : elle est impliquée par les prix des instruments liquides, du jour au 50 ans. Le desk les classe par maturité :

Segment	Instruments	Ce qu'ils fixent
Jour → 1 an	Taux au jour le jour (€STR, SOFR), swaps OIS courts, dépôts	Le point de départ de la courbe et la trajectoire attendue de la banque centrale
3 mois → 3 ans	FRA et futures de taux (Euribor 3M, SOFR 3M)	Les forwards courts, pilier par pilier trimestriel
2 ans → 50 ans	Swaps de taux (IRS)	Toute la partie longue — l'instrument roi

Le FRA (forward rate agreement) échange, sur une période future unique, le taux fixé aujourd'hui contre le taux qui sera constaté. Le future de taux cote la même chose en format listé avec appels de marge quotidiens — et cette marge crée un premier écart systématique avec le FRA : quand les taux montent, le vendeur de future encaisse sa marge immédiatement et la replace à des taux devenus plus hauts (et inversement). Cette asymétrie favorable se paie : taux future > taux FRA, premier ajustement de convexité du marché (≈ ½σ²T₁T₂ dans un modèle gaussien simple). Nous retrouverons le phénomène, en plus riche, sur le CMS.

Le swap de taux échange une jambe fixe annuelle contre une jambe variable indexée sur le taux court. Sa valeur initiale est nulle quand le taux fixe vaut le taux de swap :

S_n = 1 − P(0, T_n)Σ_i=1ⁿ δ_i P(0, T_i)

(R3)

Le dénominateur — la valeur du point de base fixe — s'appelle l'annuité (ou level) ; retenez-la, elle est la clé de la section 4. Le taux de swap est ainsi une moyenne pondérée des forwards : coter un swap, c'est coter la courbe entière jusqu'à sa maturité.

3

Construire la courbe : le bootstrap

L'équation (R3) se lit à l'envers : connaissant les taux de swap cotés S₁, S₂, …, on en déduit les zéro-coupons de proche en proche — c'est le bootstrap :

P(0, T_n) = 1 − S_n Σ_i=1ⁿ⁻¹ δ_i P(0, T_i)1 + S_n δ_n

(R4)

Manipulez les piliers ci-dessous : le bootstrap tourne en direct (interpolation linéaire des taux de swap entre piliers, paiements annuels). Observez surtout la courbe forward : c'est elle que voient les produits — et elle exagère chaque inflexion de la courbe des swaps. Une bosse invisible sur les taux de swap devient une falaise sur les forwards ; les desks lissent d'ailleurs leurs interpolations précisément pour dompter cette courbe-là.

Figure R1 — Bootstrap de la courbe à partir des taux de swap

Cinq piliers cotés, interpolation linéaire, bootstrap annuel par (R4). Survolez pour lire les trois courbes.

Swap 1 an 2,0 %

Swap 2 ans 2,3 %

Swap 5 ans 2,8 %

Swap 10 ans 3,2 %

Swap 30 ans 3,4 %

Taux de swap (cotés) Taux zéro-coupon (bootstrappés) Forwards 1 an

4

CMS contre swap classique : l'ajustement de convexité

4.1 — Deux produits, une différence subtile

Dans un swap classique, la jambe variable paie le taux court de chaque période (Euribor 3M, €STR composé) : chaque flux est aligné sur sa propre période, et le pricing tombe tout seul de la courbe — valeur nulle au taux de swap (R3), aucune volatilité requise.

Dans un CMS (constant maturity swap), la jambe variable paie à chaque période un taux long constaté ce jour-là : par exemple le taux de swap 10 ans du moment (« CMS 10 ans »). Le client reçoit ainsi un taux long rafraîchi périodiquement — exposition directe au niveau et à la pente de la courbe, très prisée des assureurs et des émetteurs de produits structurés de taux.

La question du pricing paraît innocente : que vaut recevoir S(T), le taux de swap 10 ans constaté en T ? Réponse naïve : le forward de ce taux. Réponse juste : un peu plus.

4.2 — D'où vient l'ajustement

Le forward de swap est le taux « juste » pour qui échange des flux pondérés par l'annuité (le dénominateur de (R3)) : techniquement, S est une martingale sous la mesure associée à l'annuité. Mais le CMS paie S(T) en un versement unique à date fixe — le mauvais numéraire. Or annuité et taux bougent ensemble : quand S monte, l'annuité baisse (des taux plus hauts actualisent plus fort). Le détenteur du CMS reçoit donc les hausses de S mieux valorisées que les baisses ne le pénalisent — une asymétrie favorable, qui se paie :

taux CMS ≈ S₀ + ½ S₀² σ² T (−G″(S₀)G′(S₀))

(R5)

où G(y) est le prix de l'obligation au pair sous-jacente au swap et σ la volatilité (implicite, cotée par les swaptions) du taux de swap. L'encadré est l'ajustement de convexité : il croît avec le carré de la volatilité, l'horizon T, et la convexité du sous-jacent. Sur un CMS 10 ans à 5 ans, il se compte en dizaines de points de base — très loin d'être négligeable. La racine mathématique est l'inégalité de Jensen : pour une fonction convexe, E[G(y)] > G(E[y]). La figure la rend visible :

Figure R2 — L'inégalité de Jensen, moteur de l'ajustement de convexité

Prix d'une obligation 10 ans au pair (coupon 3 %) selon son taux. Deux scénarios équiprobables y₀ ± Δ : la moyenne des prix (corde) dépasse le prix du taux moyen (courbe) — toujours.

Volatilité du taux σ 25 %

Horizon T 5 ans

Prix G(y) — convexe Corde des deux scénarios E[G(y)] contre G(E[y])

Même logique, déclinée partout : futures contre FRA (section 2), taux payés en avance ou dans la mauvaise devise (« quanto »), vol swap contre variance swap (onglet Dérivés actions). Règle mnémotechnique du desk : dès qu'un flux est payé sous un autre numéraire que son numéraire naturel, il y a un ajustement, et il est proportionnel à σ²T. Le pricing fin des CMS (avec smile) se fait par réplication sur swaptions — la formule de Hagan — cousine directe du strip de variance (E2).

5

Le bestiaire des produits de taux

La courbe est construite, les outils sont en place : passons en revue les produits eux-mêmes, du plus simple au plus exotique. Le fil conducteur : chaque étage ajoute une brique — d'abord des flux certains, puis des flux indexés, puis de l'optionalité, puis de la dépendance au chemin.

5.1 — Les briques obligataires

Le zéro-coupon est l'atome : un seul flux, en T — son prix est P(0, T), l'objet de la section 1. L'obligation à taux fixe n'est qu'un panier d'atomes : coupons c + nominal, chacun actualisé sur la courbe. Son prix bouge en sens inverse des taux, avec une sensibilité mesurée par la duration et une courbure — la convexité — que vous avez déjà rencontrée en figure R2 : c'est la même fonction G(y).

L'obligation à taux variable (FRN, floating rate note) paie à chaque période le taux court constaté en début de période. Résultat remarquable, démontrable en une ligne par récurrence depuis l'échéance : à chaque date de refixing, elle vaut exactement le pair —

FRN juste après refixing : prix = 1 + L δ1 + L δ × 100 = 100

(R6)

Sa duration de taux est donc quasi nulle (au plus la période en cours) : un FRN n'a pratiquement que du risque de crédit. Et cette lecture éclaire le swap de la section 2 sous un autre angle : recevoir le fixe dans un swap = être long d'une obligation fixe et court d'un FRN. La valeur du swap, c'est la différence des deux obligations.

5.2 — L'optionalité vanille : caps, floors, swaptions

Le cap est une série d'options sur le taux court : à chaque période, le caplet paie max(L − K, 0)·δ — l'assurance de l'emprunteur à taux variable. Le floor est le miroir (protection du prêteur), et le collar (achat de cap, vente de floor) finance l'un par l'autre. Chaque caplet se price par la formule de Black (1976) sur le forward — la convention de cotation que le LMM de l'onglet Modèles de taux justifie rigoureusement :

caplet = δ P(0, T_paiement) [ F N(d₁) − K N(d₂) ], d_1,2 = ln(F/K) ± ½σ²Tσ√T

(R7)

La swaption est l'option d'entrer dans un swap : une payeuse (droit de payer le fixe K) protège un futur emprunteur, une receveuse protège un investisseur — c'est l'instrument de couverture massif des assureurs-vie, garants de taux longs. Elle se règle en physique (on entre dans le swap) ou en cash. Sa version bermudéenne — exerçable à plusieurs dates — est le cœur caché du marché obligataire : une obligation callable n'est rien d'autre qu'une obligation classique moins une swaption bermudéenne receveuse vendue à l'émetteur. Caps et swaptions sont les vanilles dont les volatilités implicites (le « cube ») calibrent tous les modèles de l'onglet suivant.

5.3 — Les exotiques : quand le coupon raconte une histoire

Range accrual / CRAN (callable range accrual note) : le coupon bonifié court au prorata des jours où un index (Euribor, CMS, spread) reste dans un corridor. Le porteur vend une série de digitales quotidiennes — et l'émetteur garde en général le droit de rappeler la note (« callable »).
TARN (target redemption note) : les coupons s'accumulent jusqu'à un plafond cible ; atteint, la note rembourse par anticipation. Le client reçoit vite… ou reste longtemps coincé avec des coupons éteints.
Snowball : coupon_t = max(coupon_t−1 + marge − taux, 0) — chaque coupon dépend du précédent : dépendance au chemin maximale, sensibilité explosive à la corrélation des fixings successifs.
Steepener CMS : coupon indexé sur la pente (CMS 10 ans − CMS 2 ans), à levier — un pari sur la forme de la courbe, pricé avec les ajustements de convexité de la section 4 et le smile de swaptions.

Le pricing de ces produits mobilise tout l'attirail : un modèle multi-facteurs calibré au cube de swaptions (LMM ou Cheyette — onglet Modèles de taux), du Monte Carlo pour la dépendance au chemin, Longstaff-Schwartz pour la callability (onglet Pricing). Et leurs risques ont un parfum particulier : le risque digital aux bornes du corridor (un fixing à 3,99 % ou 4,01 % change le coupon du jour du tout au tout — le pin risk des barrières, en version quotidienne), et un vega exotique concentré sur des points précis du cube. Voyez la mécanique du corridor :

Figure R3 — Range accrual : la part du temps passé dans le corridor (taux simulé sous Vasicek)

Trajectoires du taux court (r₀ = 2,5 %, θ = 3 %, κ = 0,4, σ = 1 %) sur 5 ans. Le coupon bonifié de 6 % ne court que dans la bande : la fraction attendue est calculée analytiquement (loi gaussienne de Vasicek).

Borne basse du corridor 1,0 %

Borne haute du corridor 4,0 %

Taux court simulé Corridor d'accrual Moyenne E[rₜ]

Resserrez le corridor : le coupon affiché reste 6 %, mais le coupon attendu fond — tout l'art commercial du produit est dans cet écart. Ajoutez la callability (l'émetteur rappelle dès que le produit lui coûte trop cher) et vous comprenez pourquoi ces notes affichent des taux faciaux si séduisants : le client a vendu, sans toujours le voir, des digitales quotidiennes et une bermudéenne.

6

Le monde multi-courbes

Jusqu'en 2008, une seule courbe faisait tout : projeter les forwards et actualiser. La crise a fait exploser les écarts entre taux interbancaires (Libor/Euribor, porteurs de risque de crédit bancaire) et taux au jour le jour collatéralisés : le cadre s'est scindé.

Actualisation : les dérivés collatéralisés s'actualisent sur la courbe OIS (€STR, SOFR) — le taux effectivement payé sur le collatéral.
Projection : chaque indice (Euribor 3M, 6M…) a sa propre courbe de forwards, calibrée sur ses instruments, avec des spreads de base entre courbes cotés en marché.
Transition post-Libor : depuis 2021, les grands indices interbancaires ont cédé la place aux RFR (risk-free rates : SOFR, €STR, SONIA), composés à terme échu — le monétaire s'est réécrit, l'Euribor restant l'exception européenne.

Ce qu'il faut retenir Une courbe = des facteurs d'actualisation impliqués par les instruments liquides. Les forwards en sont la dérivée — brutale. Le swap classique se price sans volatilité ; dès que le flux quitte son habitat naturel (CMS, futures, quanto), la volatilité entre en scène via un ajustement de convexité en σ²T. Et depuis 2008, on ne dit plus « la » courbe, mais « les » courbes.

Pour aller plus loin

J. Hull, Options, futures et autres actifs dérivés — chapitres courbes, FRA et ajustements de convexité.
P. Hagan, Convexity Conundrums: Pricing CMS Swaps, Caps, and Floors, Wilmott Magazine, 2003.
F. Ametrano & M. Bianchetti, Everything You Always Wanted to Know About Multiple Interest Rate Curve Bootstrapping, SSRN, 2013.

Modélisation · Fixed income

Les modèles de taux, de Vasicek au SABR

Tant qu'un produit de taux n'a pas d'optionalité, la courbe suffit. Dès qu'il en a — caps, swaptions, obligations callables, bermudéennes — il faut modéliser comment la courbe bouge. Cinquante ans d'histoire des modèles tiennent en une question : que choisit-on de rendre aléatoire ? Le taux court, la courbe forward entière, ou les taux que le marché cote ?

dr_t = κ ( θ − r_t ) dt + σ dW_t

1

Pourquoi modéliser les taux ?

L'onglet précédent pricait swaps et FRA avec la seule courbe : des produits linéaires, dont les flux se répliquent statiquement. Mais un cap (série d'options sur le taux court), une swaption (option d'entrer dans un swap), une obligation callable (remboursable par anticipation) ou une swaption bermudéenne (exerçable à plusieurs dates) dépendent de la distribution des taux futurs, pas seulement de leur forward. Il faut une dynamique.

Modéliser les taux est plus délicat que modéliser une action : l'objet aléatoire n'est pas un prix scalaire mais une courbe entière, dont les points sont très corrélés mais pas parfaitement ; le sous-jacent (le taux) intervient aussi dans l'actualisation ; et le modèle doit repricer exactement la courbe d'aujourd'hui — sous peine d'arbitrage interne. L'histoire des modèles est celle de ces trois contraintes.

2

Les modèles de taux court

Première idée (années 1970–80) : tout faire dériver d'un unique facteur, le taux court instantané r_t. Le prototype est Vasicek (1977) :

dr_t = κ ( θ − r_t ) dt + σ dW_t

(M1)

Le terme κ(θ − r) est le retour à la moyenne — la signature des taux, absente des actions : un taux à 10 % attire les politiques restrictives qui le feront redescendre. θ est le niveau de long terme, κ la vitesse de rappel (demi-vie ln 2/κ), σ le bruit. Le processus est gaussien : les taux peuvent devenir négatifs — défaut rédhibitoire en 1990, qualité inattendue depuis 2015.

La magie des modèles affines : le prix zéro-coupon a une forme fermée,

P(t, T) = A(T−t) e^{−B(T−t) r_t}, B(τ) = 1 − e^−κτκ

(M2)

donc toute la courbe se déduit du taux court du moment — et les options sur obligations ont des formules à la Black-Scholes. Explorez la double vie du modèle : ses trajectoires, et les courbes qu'il engendre.

Figure M1 — Le modèle de Vasicek : trajectoires et courbes de taux

À gauche : 25 trajectoires du taux court sur 10 ans, avec la moyenne théorique et le cône stationnaire à ±2 écarts-types. À droite : la courbe zéro-coupon impliquée par (M2) — regardez-la s'inverser quand r₀ dépasse θ.

Taux initial r₀ 4,5 %

Long terme θ 3,0 %

Rappel κ 0,40

Volatilité σ 0,8 %

Trajectoires / courbe zéro Moyenne E[rₜ] Cône stationnaire ± 2σ_∞

Les héritiers corrigent chacun un défaut. CIR (1985) met un √r devant le bruit : taux positifs garantis (le modèle vit une seconde vie comme dynamique d'intensités de défaut en crédit). Hull-White (1990) rend θ(t) dépendant du temps et le calibre pour reprendre exactement la courbe du jour — c'est le Vasicek industriel, toujours au cœur des moteurs XVA et du pricing des callables. Black-Karasinski modélise ln r (taux log-normaux). Limite commune : un seul facteur déplace toute la courbe en parallèle ou presque — insuffisant pour les produits sensibles à la pente ou à la corrélation entre points de courbe (d'où les versions à 2–3 facteurs, comme Hull-White 2F ou le G2++).

3

Le cadre HJM : modéliser la courbe entière

Heath, Jarrow et Morton (1992) renversent la perspective : au lieu d'un taux court qui engendre la courbe, prenons comme objet premier toute la courbe des taux forward instantanés f(t, T) et donnons-lui une dynamique. Leur résultat central : sous la probabilité risque-neutre, la dérive n'est pas libre — l'absence d'arbitrage l'impose entièrement à partir des volatilités :

df(t, T) = σ(t, T) (∫_t^T σ(t, u) du) dt + σ(t, T) dW_t

(M3)

HJM n'est pas un modèle mais une grammaire : choisir σ(t, T), c'est choisir son modèle (une volatilité exponentiellement décroissante redonne Hull-White ; une constante, Ho-Lee). Sa généralité a un prix : hors cas particuliers, la dynamique n'est pas markovienne en dimension finie — inutilisable telle quelle sur un arbre ou une grille. Les versions markoviennes (Cheyette, quasi-gaussiennes) résolvent ce problème et servent de socle aux moteurs exotiques modernes. Autre embarras, plus profond : les taux forward instantanés ne sont pas observables — le marché ne cote pas f(t, T), il cote des Euribor 3M et des taux de swap. D'où l'étape suivante.

4

Les modèles de marché : BGM / LMM

Brace, Gatarek et Musiela (1997) — d'où « BGM », rebaptisé Libor Market Model — font le choix pragmatique : modéliser directement les taux observables et cotés, les forwards Libor L_i à 3 ou 6 mois, chacun log-normal sous sa mesure forward :

dL_i(t) = L_i(t) σ_i(t) dW_i^T_i+1, corr(dW_i, dW_j) = ρ_ij

(M4)

Le coup de génie : chaque L_i log-normal implique que caplets et floorlets se pricent par la formule de Black — exactement la convention avec laquelle le marché les cotait déjà. Le modèle est donc calibré par construction aux caps ; les corrélations ρ_ij et les structures de vol σ_i(t) se calibrent sur les swaptions. Le jumeau Swap Market Model rend log-normaux les taux de swap (et donc la formule de Black pour les swaptions) — les deux ne peuvent être vrais simultanément, on choisit selon le produit.

Le LMM est la machine à exotiques de taux : bermudéennes, TARN, snowballs, range accruals, callables multi-devises — tout ce qui dépend du chemin de plusieurs taux corrélés. Sa dimension élevée (un facteur par forward, des dizaines) impose le Monte Carlo, et l'exercice anticipé passe par Longstaff-Schwartz : la boucle est bouclée avec l'onglet Pricing.

5

SABR : le smile de taux

Le LMM log-normal donne des vols implicites plates par strike — or le marché des swaptions a un smile marqué. Hagan, Kumar, Lesniewski et Woodward (2002) proposent le modèle devenu la lingua franca des desks de taux : SABR (stochastic α β ρ), où le forward F et sa volatilité α sont tous deux stochastiques :

dF = α F^β dW₁, dα = ν α dW₂, corr(dW₁, dW₂) = ρ

(M5)

Sa force n'est pas le réalisme mais la formule asymptotique de Hagan : la volatilité implicite σ(K) s'écrit en forme fermée en fonction de (α, β, ρ, ν) — calibration instantanée, interpolation du smile robuste, grecques stables. Chaque paramètre sculpte le smile à sa façon ; jouez :

Figure M2 — Le smile SABR d'une swaption (forward F = 3 %, expiry 5 ans, β = 0,5)

Volatilité implicite log-normale par strike, formule de Hagan. α fixe le niveau, ρ penche le smile, ν le creuse.

Vol initiale α 0,035

Corrélation ρ −0,30

Vol de vol ν 0,40

σ implicite (Hagan) À la monnaie (K = F)

SABR sert d'abord à coter et interpoler les vanilles (le « cube » de swaptions : expiry × maturité × strike) ; combiné au LMM (LMM-SABR, Rebonato), il apporte le smile aux exotiques. Ses défauts aux taux très bas (densités négatives) ont suscité les variantes shifted-SABR et ZABR après 2015 — le modèle a survécu à ses rustines.

6

Le paysage actuel : quel modèle pour quel produit ?

Famille	Représentants	Calibration	Produits cibles
Taux court gaussien	Vasicek, Hull-White 1F/2F, G2++	Courbe + quelques swaptions co-terminales	Callables, bermudéennes (arbres/EDP), moteurs XVA (vitesse)
Taux court positif	CIR, CIR++, Black-Karasinski	Courbe + caps	Idem ; CIR pour les intensités de crédit et le risque de contrepartie
HJM markovien	Cheyette, quasi-gaussien à vol locale/stochastique	Courbe + surface de swaptions	Exotiques dépendant de la pente, socle des moteurs maison
Modèles de marché	LMM/BGM, SMM, FMM (RFR)	Caps + cube de swaptions + corrélations	Bermudéennes riches, TARN, snowballs, structurés multi-callables
Smile	SABR, shifted-SABR, ZABR, LMM-SABR	Smile par expiry/maturité	Cotation des vanilles, CMS (réplication), spread options

Trois évolutions dominent la décennie en cours. D'abord la transition post-Libor : les RFR composés (SOFR, €STR) se constatent à terme échu, ce qui a demandé d'étendre le LMM aux taux backward-looking (le « Forward Market Model » de Lyashenko-Mercurio, 2019). Ensuite la pression XVA : valoriser les ajustements de crédit/financement exige de simuler tout le portefeuille sur des milliers de scénarios — avantage aux modèles parcimonieux (Hull-White, Cheyette) sur les LMM lourds. Enfin l'accélération numérique : AAD pour les sensibilités, GPU, et approximateurs par réseaux de neurones pour remplacer les pricers lents dans les boucles de calibration — les mêmes outils « au-delà » que ceux de l'onglet Pricing.

Pour aller plus loin

D. Brigo & F. Mercurio, Interest Rate Models — Theory and Practice, Springer, 2006 — la référence encyclopédique.
P. Hagan, D. Kumar, A. Lesniewski & D. Woodward, Managing Smile Risk, Wilmott, 2002 — l'article SABR.
R. Rebonato, K. McKay & R. White, The SABR/LIBOR Market Model, Wiley, 2009.
L. Andersen & V. Piterbarg, Interest Rate Modeling (3 vol.), Atlantic, 2010 — le traité des praticiens.

Distribution · Structuration

Les wrappers : le même payoff, mille habits

Un payoff ne se vend jamais nu. Entre le desk qui le fabrique et le client qui l'achète, il y a un véhicule — contrat ISDA, warrant coté, certificat, EMTN, fonds à formule — qui décide du risque de crédit, de la liquidité, de la réglementation et du client qu'on a le droit de servir. Choisir le wrapper est un métier en soi.

produit = payoff + enveloppe juridique

1

Ce que décide l'enveloppe

Prenez un même payoff — disons un call sur l'Euro Stoxx 50. Selon l'habit qu'on lui met, ce sera une option OTC entre deux banques, un warrant acheté en trois clics par un particulier, ou le moteur de performance d'un contrat d'assurance-vie. Le payoff n'a pas changé ; tout le reste, si :

Le risque de crédit. Qui me doit l'argent, et que se passe-t-il s'il fait défaut ? (La faillite de Lehman en 2008 a transformé des « capitaux garantis » en créances chirographaires — la leçon fondatrice du sujet.)
La liquidité. Puis-je sortir avant l'échéance, à quel prix, face à qui ?
La réglementation et la distribution. Qui a le droit d'acheter (professionnel / particulier), avec quels documents (KID PRIIPs, prospectus), sous quelle gouvernance produit (MiFID II) ?
L'opérationnel et le fiscal. Compte-titres ou contrat d'assurance, collatéral ou pas, traitement comptable chez l'investisseur.

2

Le gré à gré : options OTC et swaps

La forme la plus pure : un contrat bilatéral entre deux contreparties, documenté par un ISDA Master Agreement et son annexe de collatéral (CSA) — appels de marge quotidiens qui neutralisent l'essentiel du risque de crédit. C'est l'habit naturel des swaps de taux, equity swaps, swaps de variance et options sur mesure de l'onglet Dérivés actions ; depuis 2008, une grande partie passe par compensation centrale obligatoire, et le reste porte des exigences de marge bilatérales.

Public : institutionnels exclusivement. Force : le sur-mesure absolu (tout payoff, toute maturité, tout notionnel). Faiblesses : documentation lourde, valorisation opaque pour le client, sortie uniquement par négociation avec la contrepartie d'origine — et toute la tuyauterie XVA (ajustements de crédit, financement, capital) que le desk facture dans le prix.

3

Le listé : warrants, turbos et certificats

Pour atteindre le particulier, on titrise l'option : la banque émet un titre coté en bourse, dont elle assure elle-même le market-making en continu.

Warrant : un call ou put titrisé, quotité faible, échéances courtes. Même pricing que l'option (Black-Scholes sur le smile), plus une marge de market-making. Le porteur assume le risque de crédit de l'émetteur — pas de collatéral ici.
Turbo : un certificat à levier avec barrière désactivante — mécaniquement, une option à barrière de type knock-out (onglet Dérivés actions, section 2), dont la valeur temps quasi nulle plaît aux traders particuliers. Le levier affiché cache la violence des grecques près de la barrière.
Certificat : titre de créance répliquant une stratégie — tracker (delta un), bonus, discount, airbag… Chaque nom commercial recouvre une combinaison de vanilles et de barrières parfaitement identifiable par le lecteur des onglets précédents.

L'économie du métier : des milliers de souches émises, une couverture globale du book chez l'émetteur, et une marge par produit faible mais récurrente. La protection de l'investisseur vient de la cotation (prix publics, spreads encadrés) — pas de la structure de crédit.

4

L'EMTN : l'habit des produits structurés

L'EMTN (Euro Medium Term Note) est une obligation émise en continu sous un programme-cadre : prospectus de base validé une fois, puis des « conditions définitives » de quelques pages par émission. La note structurée est une EMTN dont le coupon et/ou le remboursement sont indexés sur un sous-jacent : c'est l'enveloppe reine de la banque privée et des CGP — les autocalls sur actions, les notes à capital garanti sur taux, les CLN de crédit.

Juridiquement, le client détient une créance senior non sécurisée sur l'émetteur : le « capital garanti » l'est par la banque, pas par une sûreté. Économiquement, la note se décompose toujours de la même façon — et c'est l'exercice canonique du structureur :

Figure W1 — Anatomie d'une note à capital garanti (100 = zéro-coupon + option + marge)

Le zéro-coupon assure le remboursement du nominal à l'échéance ; ce qui reste achète des calls. La participation à la hausse en découle mécaniquement. Marge de structuration : 2.

Taux zéro-coupon r 3,0 %

Maturité T 8 ans

Volatilité σ 20 %

Zéro-coupon (garantie du nominal) Budget d'options Marge Investissement direct (comparaison)

Lisez la mécanique dans les curseurs : des taux plus hauts ou une maturité plus longue rendent le zéro-coupon moins cher — le budget d'options gonfle, la participation monte ; une volatilité plus chère la fait fondre. Voilà pourquoi les capitaux garantis pullulent quand les taux sont hauts et disparaissent quand ils sont à zéro (années 2015–2021, où le marché a migré vers les autocalls, à capital seulement conditionnellement protégé — le put down-and-in vendu par le client finançant le coupon).

5

Fonds, formules et assurance

Fonds à formule (OPCVM) : le payoff structuré logé dans un fonds réglementé. Les actifs sont ségrégués chez un dépositaire — le risque de crédit direct de l'émetteur disparaît (il subsiste via les swaps que le fonds conclut, encadrés par les ratios UCITS). Distribution grand public, valorisation périodique publique.
ETF et trackers : le wrapper delta-un industrialisé, réplication physique ou synthétique (swap) — la version moderne du certificat tracker, avec la ségrégation en plus.
Assurance-vie : l'EMTN ou le fonds structuré devient une unité de compte dans un contrat d'assurance — l'enveloppe de détention préférée de l'épargne française, qui superpose sa propre couche juridique (créance sur l'assureur) et fiscale au wrapper sous-jacent.
Dérivés listés (futures, options sur marché organisé) : la chambre de compensation s'interpose entre acheteur et vendeur — risque de contrepartie quasi éliminé, standardisation totale ; c'est l'outil de couverture des desks eux-mêmes.

6

Le même payoff, six enveloppes

Wrapper	Forme juridique	Risque de crédit	Liquidité	Client type
Option / swap OTC	Contrat bilatéral (ISDA + CSA)	Contrepartie, mitigé par collatéral / clearing	Négociée, sur mesure	Institutionnels
Dérivé listé	Contrat standardisé compensé	Quasi nul (chambre de compensation)	Carnet d'ordres, excellente	Tous (pros et particuliers avertis)
Warrant / turbo	Titre coté émis par une banque	Émetteur (senior, non collatéralisé)	Market-making continu	Particuliers actifs
Certificat	Titre de créance coté	Émetteur	Market-making continu	Particuliers, CGP
EMTN structuré	Obligation sous programme	Émetteur (senior non sécurisé)	Secondaire assuré par l'émetteur, spreads larges	Banque privée, CGP, institutionnels
Fonds à formule / ETF	Parts d'OPCVM, actifs ségrégués	Faible et indirect (swaps du fonds)	Valeur liquidative / bourse	Grand public

La synthèse du parcours Un produit financier, c'est : un payoff (onglet Dérivés actions), un prix — espérance risque-neutre calculée par formule, arbre, EDP ou Monte Carlo (onglets Black-Scholes, Pricing, Taux, Modèles) — et une enveloppe qui le porte jusqu'au client (cet onglet). Et en amont de tout, la question du CAPM : quel risque mérite d'être rémunéré, et à quel prix.

Pour aller plus loin

ISDA, Master Agreement & Credit Support Annex — l'architecture du gré à gré.
AMF, documentation PRIIPs / MiFID II — le cadre de distribution européen.
S. Das, Structured Products & Hybrid Securities, Wiley — le bestiaire complet.

Produits dérivés · Modélisation

La volatilité, du smile aux modèles

Black-Scholes suppose une volatilité constante ; le marché en cote une différente pour chaque strike et chaque maturité. Cette nappe — le smile — est devenue l'objet central du métier : ce tutoriel montre comment la lire, puis comment la modéliser, de la vol locale de Dupire à la vol stochastique de Heston, dont le smile est recalculé en direct ci-dessous.

σ_imp = σ_imp(K, T)

1

Le smile, objet de marché

L'onglet Black-Scholes s'achevait sur un constat : depuis le krach de 1987, la volatilité implicite des options actions n'est pas plate. Les puts bas de strike se paient plus cher (en volatilité) que les calls hauts — c'est le skew — et la courbe dépend aussi de la maturité. L'ensemble forme la nappe de volatilité implicite σ_imp(K, T), publiée en continu par les market-makers.

Il faut prendre la mesure du renversement conceptuel : Black-Scholes devait prédire les prix d'options à partir d'un σ unique ; il est devenu un simple convertisseur de cotation. Personne ne croit au modèle, mais tout le monde cote en « vol implicite » parce que c'est une unité plus stable et plus comparable qu'un prix en euros. Le vrai contenu d'information du marché des options, c'est la nappe elle-même :

Le niveau (vol ATM) mesure l'incertitude anticipée — c'est l'ingrédient du VIX.
Le skew mesure la peur asymétrique du krach : la densité risque-neutre a une queue gauche épaisse, et l'effet de levier (une baisse du prix augmente l'endettement relatif de l'entreprise, donc sa volatilité) pousse dans le même sens.
La structure par terme monte en période calme (l'incertitude s'accumule avec l'horizon) et s'inverse en crise (le stress est immédiat, la normalisation attendue).

Deux lectures du même objet Une nappe de vol est équivalente, par la formule de Breeden-Litzenberger ∂²C/∂K² = e^−rT φ(K), à la donnée de la densité risque-neutre du sous-jacent à chaque horizon. Coter un smile, c'est coter une distribution — asymétrie et kurtosis compris. Le modélisateur cherche alors une dynamique capable d'engendrer cette famille de distributions : c'est tout l'objet des sections suivantes.

2

La volatilité locale de Dupire

Première réponse (Dupire, 1994 ; Derman-Kani en version arbre) : garder un modèle à un seul facteur, mais laisser la volatilité dépendre du point où se trouve le sous-jacent et du temps :

dS_t = r S_t dt + σ_loc(S_t, t) S_t dW_t

(V1)

Le résultat remarquable de Dupire est que cette fonction n'est pas à choisir : elle est entièrement déterminée par la nappe de prix d'options, par une formule fermée :

σ_loc²(K, T) = ∂C/∂T + rK ∂C/∂K½ K² ∂²C/∂K²

(V2)

C'est l'analogue, côté strike, de l'EDP de Black-Scholes — on l'appelle parfois l'EDP forward. Conséquence pratique : le modèle de vol locale recalibre exactement toute la nappe, par construction. Il est devenu le cheval de trait des desks exotiques pour tout ce qui dépend du chemin de S sans dépendre trop finement de la dynamique de la volatilité : barrières, autocalls, asiatiques.

Sa limite est tout aussi célèbre : la dynamique du smile est fausse. En vol locale, quand le spot bouge, le smile reste « accroché » aux niveaux absolus de prix (dynamique sticky-strike exagérée) : le skew futur qu'implique le modèle est plus plat que celui qu'on observera. Les produits sensibles à la vol forward — cliquets, options sur variance future, tout ce qui se recouvre en vega dans le temps — sont systématiquement mal pricés. D'où la seconde famille de modèles.

3

La volatilité stochastique : Heston

Seconde réponse : faire de la variance un facteur de risque à part entière, avec sa propre équation. Le modèle de Heston (1993) est le standard de cette famille, parce qu'il garde un pricing quasi fermé :

dS_t = r S_t dt + √v_t S_t dW_t · dv_t = κ(θ − v_t) dt + ξ √v_t dZ_t, d⟨W, Z⟩ = ρ dt

(V3)

Chaque paramètre a un rôle lisible sur le smile — c'est ce qui rend le modèle si pédagogique :

v₀ : la variance d'aujourd'hui — fixe le niveau court de la nappe.
θ : la variance de long terme vers laquelle v revient à la vitesse κ — fixe le niveau long.
ξ (vol de vol) : bombe la courbe — c'est la convexité du smile, le prix du kurtosis.
ρ : incline le smile — un ρ négatif (le cas actions : le spot baisse, la vol monte) donne le skew.

Le prix d'un call s'obtient par transformée de Fourier : la fonction caractéristique de ln S_T est connue en fermé, et il ne reste qu'une intégrale unidimensionnelle à évaluer numériquement — celle que calcule la figure V1 à chaque mouvement de slider (formulation stable de la fonction caractéristique, intégration de Simpson, puis inversion de Black-Scholes pour afficher des volatilités implicites) :

C = S₀ P₁ − K e^−rT P₂, P_j = ½ + 1π ∫₀^∞ Re[ e^{−iu ln K} f_j(u)iu ] du

(V4)

Figure V1 — Le smile du modèle de Heston, calculé par transformée de Fourier

Volatilité implicite à 1 an, S₀ = 100, r = 2 %, κ = 2. Chaque point est un prix Heston (intégration numérique de (V4)) réinjecté dans Black-Scholes. Jouez chaque paramètre séparément : niveau, pente, convexité.

Vol instantanée √v₀ 20 %

Vol long terme √θ 21 %

Vol de vol ξ 50 %

Corrélation ρ −0,70

Vol implicite Heston Vol long terme √θ (référence plate)

Trois expériences à faire. ρ → 0, ξ petit : le smile s'aplatit vers un niveau entre √v₀ et √θ — on retrouve Black-Scholes. ξ seul : la courbe se creuse symétriquement, les deux ailes montent — c'est le sourire proprement dit, signature du kurtosis. ρ très négatif : l'aile gauche se dresse, l'aile droite s'écrase — c'est le skew actions. Le marché calibre (v₀, θ, κ, ξ, ρ) sur la nappe du jour ; la qualité de l'ajustement se joue surtout sur les maturités moyennes, le smile court exigeant des ξ irréalistes (d'où les extensions à sauts, ou le rough volatility des années 2015+).

4

Variance forward et arbitrages de nappe

La nappe n'est pas une collection de points indépendants : elle est contrainte par l'absence d'arbitrage, exactement comme une courbe de taux. En notant w(K, T) = σ_imp²T la variance totale, deux conditions structurent tout :

Pas d'arbitrage calendaire : la variance totale doit croître avec T à moneyness forward constante — sinon un calendar spread rapporte à coup sûr. La différence définit la variance forward, l'analogue exact du taux forward : σ²_fwd(T₁, T₂) = (w₂ − w₁)/(T₂ − T₁).
Pas d'arbitrage papillon : ∂²C/∂K² ≥ 0 — la densité de Breeden-Litzenberger doit rester positive. Cela borne la pente du smile dans les ailes (conditions de Lee : w croît au plus linéairement en |ln K|).

La variance forward est un objet négociable : c'est précisément ce que livre un swap de variance forward, et le carnet de ces instruments (ou de VIX futures) matérialise la structure par terme de variance comme les FRA matérialisaient celle des taux. Les modèles modernes de la famille Bergomi prennent d'ailleurs la courbe de variance forward comme donnée initiale et modélisent ses déformations — transposition directe de la philosophie HJM de l'onglet Modèles de taux.

Interpoler une nappe de vol sans créer d'arbitrage papillon ou calendaire est un métier en soi : les paramétrisations de type SVI (Gatheral) dominent parce qu'elles rendent ces contraintes vérifiables paramètre par paramètre.

5

Quel modèle pour quel produit ?

Modèle	Recalibre la nappe ?	Dynamique du smile	Domaine d'emploi
Black-Scholes	Un point (K, T) à la fois	Aucune	Cotation, grecques de référence, produits vanilles
Vol locale (Dupire)	Exactement, par construction	Trop plate (skew forward écrasé)	Barrières, autocalls, asiatiques — le path-dependent « raisonnable »
Vol stochastique (Heston)	Approximativement (5 paramètres)	Réaliste (skew persistant, vol-de-vol)	Cliquets, forward starts, produits de vol, hybrides
Vol locale-stochastique (LSV)	Exactement (levier local × facteur stochastique)	Réglable	Le standard industriel des desks exotiques depuis ~2010

Le praticien retient la règle : vol locale pour repricer, vol stochastique pour dynamiser, LSV pour les deux à la fois — au prix d'une calibration en deux étages (la fonction de levier absorbe ce que le facteur stochastique ne capture pas). Et pour les produits purement vanilles, Black-Scholes plus une bonne nappe reste imbattable en robustesse.

Pour aller plus loin

B. Dupire, Pricing with a Smile, Risk, 1994.
S. Heston, A Closed-Form Solution for Options with Stochastic Volatility, Review of Financial Studies, 1993.
J. Gatheral, The Volatility Surface: A Practitioner's Guide, Wiley, 2006 — le classique, SVI compris.
L. Bergomi, Stochastic Volatility Modeling, CRC Press, 2016 — la référence des desks exotiques.
J. Gatheral, T. Jaisson & M. Rosenbaum, Volatility is Rough, Quantitative Finance, 2018.

Produits structurés

L'autocall, machine à coupons conditionnels

Produit structuré le plus vendu d'Europe, l'autocall promet un coupon élevé et un remboursement anticipé « si tout va bien », contre un risque de perte en capital « si tout va très mal ». Ce tutoriel le démonte brique par brique, puis le price par Monte Carlo en direct : chaque slider montre ce que le rendement affiché achète — et vend — réellement.

coupon élevé = capital garanti − put down-and-in vendu

1

Le lego structuré

L'onglet Wrappers a montré la brique fondatrice : un capital garanti = zéro-coupon + call. Son symétrique est tout aussi important : dès que le client veut plus de rendement que le taux sans risque, il doit vendre une option — il n'y a pas d'autre source. Le prototype est le reverse convertible :

reverse convertible = obligation − put ⟹ coupon bonifié = taux + prime du putdurée

(S1)

Le porteur touche un gros coupon quoi qu'il arrive, mais si l'action a chuté sous un seuil à l'échéance, il est remboursé en actions dépréciées : il a vendu un put, et le coupon est la prime de ce put étalée dans le temps. Tout produit de rendement — autocall compris — est une variation sur ce thème : le client vend de l'assurance contre le krach, et le « rendement » est le prix de cette assurance.

La grammaire des payoffs Trois curseurs génèrent l'essentiel du catalogue : quelle option vendue (put vanille, put down-and-in, put worst-of), quelle condition de coupon (inconditionnel, digital, à mémoire), quelle sortie (échéance fixe ou rappel anticipé automatique). L'autocall coche les trois cases les plus vendeuses : put barrière (protection « tant que la barrière tient »), coupon conditionnel élevé, et rappel automatique qui raccourcit la durée de vie effective.

2

L'autocall pas à pas

Prenons la structure « Athéna » standard sur indice, maturité 5 ans, observations annuelles, avec S₀ le niveau initial :

À chaque date anniversaire t = 1, 2, 3, 4 ans : si S_t ≥ S₀, le produit est rappelé — le client reçoit 100 % + coupon × t (effet mémoire : les coupons des années écoulées sont rattrapés), et tout s'arrête.
À l'échéance (5 ans), trois cas : S₅ ≥ S₀ → 100 % + 5 coupons ; S₀ > S₅ ≥ B (la barrière de protection, typiquement 60 %) → 100 %, sans coupon ; S₅ < B → remboursement S₅/S₀, soit la perte intégrale de l'indice.

La décomposition en briques se lit directement : le client est long une obligation de l'émetteur, long une série de digitales (les coupons, conditionnels à S ≥ S₀), et court un put down-and-in de strike 100 % et barrière B, activé seulement dans les scénarios de chute sévère. Le rappel anticipé, lui, n'est pas une option du client ni de l'émetteur : il est automatique — d'où le nom — ce qui rend la duration du produit aléatoire.

D'où vient le coupon élevé ? Comptablement : de la prime du put vendu, du skew (le put down-and-in se vend au prix fort quand l'aile gauche du smile est chère — voir l'onglet Volatilité), des dividendes abandonnés (le client est exposé à l'indice prix, pas au total return), et du financement de l'émetteur (spread de crédit — onglet Crédit). Le coupon affiché agrège ces quatre sources ; aucune n'est un cadeau.

3

Le pricing en direct

Le produit est path-dependent (rappel, mémoire, barrière) : c'est un cas d'école pour le Monte Carlo de l'onglet Pricing. La figure simule 6 000 trajectoires log-normales (observations annuelles, tirages figés), applique le terme sheet, et affiche où finissent les scénarios :

Figure S1 — Autocall Athéna 5 ans : destin des scénarios et prix Monte Carlo

S₀ = 100, r = 2 %, rappel si S ≥ 100 % aux anniversaires, coupon à mémoire, barrière de protection observée à l'échéance seulement. 6 000 trajectoires, tirages figés.

Coupon annuel 7,0 %

Barrière de protection B 60 %

Volatilité σ 22 %

Rappel anticipé (année 1 à 4) ou remboursé + coupons à 5 ans Capital rendu sans coupon (B ≤ S₅ < 100 %) Perte en capital (S₅ < B)

Les lectures à faire. La durée de vie réelle est courte : avec les paramètres par défaut, plus de la moitié des scénarios se rappellent dès la première ou deuxième année — le « 5 ans » du terme sheet est une maturité maximale, pas espérée. Montez la volatilité : la probabilité de perte gonfle vite, et le prix modèle baisse — à coupon constant, plus de vol devrait donc augmenter le coupon offert ; c'est pourquoi les autocalls se vendent le mieux après les pics de volatilité. Descendez la barrière : la protection s'améliore, le prix monte vers le pair — l'écart entre le prix modèle et 100 % mesure la marge brute de la structure (frais, couverture, financement).

4

La vie du produit côté desk

Le vendeur d'autocall porte l'image miroir du produit, et c'est un portefeuille de risques notoirement inconfortable :

Vega et gamma changent de signe selon le niveau du spot : près de la barrière de rappel, le desk est long vol ; près de la barrière de protection, court vol et court gamma — les books d'autocalls d'une place entière peuvent amplifier les mouvements de marché quand les spots approchent des zones de barrières (épisodes coréens de 2015, mars 2020).
Risque de pin sur les dates d'observation : la digitale de rappel concentre un notionnel énorme sur un point ; la couverture y est discontinuité pure (call spread serré en pratique).
Dividendes et repo : le desk, long l'indice en couverture, encaisse des dividendes qu'il a promis au produit — toute révision des dividendes futurs se paie cash ; le marché des dividend swaps (onglet Dérivés actions) sert largement à recycler ce risque.
Corrélation pour les versions worst-of : le vendeur est long corrélation, et la corrélation implicite se paie au-dessus de la réalisée — c'est le même canal que la dispersion.

Un autocall n'est donc jamais « pricé » une fois pour toutes : c'est la somme d'une couverture dynamique en delta, vega, dividendes et corrélation, dont le coût espéré est ce que la marge doit couvrir. Le modèle de la figure S1 (log-normal, vol plate) en donne le squelette ; un desk réel utilise une vol locale ou LSV calibrée au smile — l'onglet Volatilité explique pourquoi le choix change le prix du put down-and-in.

5

Le bestiaire des variantes

Variante	Ce qui change	Effet pour le client
Athéna	Coupon versé seulement au rappel (mémoire)	Tout ou rien, coupon facial maximal
Phoenix	Coupon détaché à chaque date si S ≥ barrière de coupon (souvent < 100 %), avec ou sans mémoire	Revenu plus régulier, coupon facial plus faible
Step-down (dégressif)	La barrière de rappel décroît avec le temps (100 %, 95 %, 90 %…)	Rappel plus probable, durée raccourcie, coupon réduit
Worst-of	Sous-jacent = la moins bonne de 2-3 actions ou indices	Coupon dopé, risque de perte très supérieur (le pire actif décide)
Barrière américaine	Protection observée en continu, pas seulement à l'échéance	Protection plus fragile, coupon plus élevé
TARN	Rappel quand le cumul de coupons atteint une cible	Cousin de taux — voir l'onglet Taux d'intérêt, section produits

La logique commerciale est constante : chaque variante déplace de la valeur entre probabilité de toucher le coupon et sévérité du scénario adverse, à prix de fabrication à peu près égal. La grille de lecture à retenir devant n'importe quel terme sheet : où est l'option vendue, que vaut-elle sur le smile du jour, et quelle part m'en reverse-t-on ?

Pour aller plus loin

S. Bouzoubaa & A. Osseiran, Exotic Options and Hybrids, Wiley, 2010 — le manuel des structureurs.
AMF, Les produits structurés commercialisés en France — études périodiques sur les rendements réalisés.
P. Wilmott, Paul Wilmott on Quantitative Finance, Wiley — chapitres barrières et produits à rappel.

Risque de crédit

Le crédit, ou le prix du défaut

Prêter, c'est vendre une assurance contre sa propre perte : le spread de crédit est la prime. Ce tutoriel construit le marché du crédit comme on a construit celui des taux — probabilités de survie au lieu de facteurs d'actualisation, CDS au lieu de swaps, bootstrap compris — puis affronte la vraie difficulté : la corrélation des défauts, celle qui fabrique les tranches et qui a fait 2008.

spread ≈ λ × (1 − R)

1

Spread, défaut, recouvrement

Une obligation d'entreprise rapporte plus qu'une obligation d'État de même maturité. Cet écart — le spread de crédit s — rémunère trois choses : la perte attendue en cas de défaut, une prime de risque (le défaut arrive dans les mauvais états du monde), et une prime d'illiquidité. La comptabilité de la première composante tient en une ligne. Si l'émetteur fait défaut avec une probabilité annuelle λ et qu'on récupère alors une fraction R du nominal (le taux de recouvrement, ~40 % pour de la dette senior non sécurisée), la perte moyenne annuelle vaut λ(1 − R) — et le spread doit la couvrir :

s ≈ λ (1 − R) ⟺ λ ≈ s1 − R

(C1)

C'est la règle du triangle crédit : 120 bp de spread et 40 % de recouvrement impliquent une probabilité de défaut risque-neutre de 2 % par an. « Risque-neutre » est essentiel : comme pour les options, ces probabilités sont extraites de prix et incorporent les primes de risque — elles surestiment systématiquement les fréquences de défaut historiques, souvent d'un facteur 2 à 5. Ce n'est pas un défaut du modèle : c'est le prix du risque, exactement le sujet du CAPM.

Les trois objets du marché PD (probabilité de défaut), LGD = 1 − R (perte en cas de défaut), EAD (exposition au moment du défaut). Perte attendue = PD × LGD × EAD. Toute la réglementation bancaire (Bâle), toute la tarification d'un prêt et tout ce qui suit dans cet onglet est une variation sur ce produit de trois termes.

2

Les modèles d'intensité

Pour dépasser le λ constant, deux familles. Les modèles structurels (Merton, 1974) font défaut quand la valeur des actifs de la firme passe sous sa dette : élégant — le défaut devient une option, l'action un call sur les actifs — mais difficile à calibrer. Le marché price avec les modèles à intensité (forme réduite) : le défaut est le premier saut d'un processus de Poisson d'intensité λ_t, un aléa exogène qui peut frapper à tout instant. La probabilité de survie s'écrit alors exactement comme un facteur d'actualisation :

Q(t) = P(pas de défaut avant t) = exp(−∫₀^t λ_u du)

(C2)

L'analogie avec la courbe des taux est structurelle, et c'est elle qui organise tout le marché :

Monde des taux	Monde du crédit
Facteur d'actualisation P(0, t) = e^−∫r	Probabilité de survie Q(t) = e^−∫λ
Taux court r_t	Intensité de défaut λ_t (hazard rate)
Courbe des taux, taux forward	Courbe de crédit, intensité forward
Swap → bootstrap de P(0, t)	CDS → bootstrap de Q(t) (section 3)
Modèles CIR / Hull-White sur r	Les mêmes, sur λ (CIR garantit λ > 0)

Un flux risqué se price en combinant les deux courbes : recevoir 1 en t si l'émetteur a survécu vaut P(0, t) Q(t) — l'actualisation « au taux risqué » r + λ n'est que cette factorisation, et le spread y joue exactement le rôle d'un taux supplémentaire.

3

Le CDS et le bootstrap de survie

L'instrument roi du crédit est le credit default swap. L'acheteur de protection paie un spread s par an (la jambe de prime) ; en cas de défaut, le vendeur lui verse 1 − R (la jambe de protection) et le contrat s'éteint. À l'équilibre, les deux jambes ont même valeur :

s Σ_i δ_i P(0, t_i) Q(t_i) = (1 − R) Σ_i P(0, t_i) [ Q(t_i−1) − Q(t_i) ]

(C3)

À gauche, chaque coupon pèse sa probabilité d'être payé (survie) ; à droite, chaque période contribue sa probabilité de défaut. Comme l'équation du swap au chapitre Taux, (C3) se lit à l'envers : les spreads cotés à 1, 3, 5, 7, 10 ans déterminent les intensités de proche en proche — bootstrap de la courbe de survie, que la figure exécute en direct (λ constant par morceaux entre piliers, R = 40 %, paiements trimestriels) :

Figure C1 — Bootstrap de la courbe de survie à partir des spreads CDS

Cinq piliers cotés, intensité constante par morceaux, R = 40 %, actualisation à 2,5 %. Survolez pour lire la survie, la PD cumulée et l'intensité en chaque point.

CDS 1 an 60 bp

CDS 3 ans 80 bp

CDS 5 ans 100 bp

CDS 7 ans 115 bp

CDS 10 ans 130 bp

Probabilité de survie Q(t) Probabilité de défaut cumulée 1 − Q(t)

Expériences : une courbe de spreads inversée (1 an au-dessus du 10 ans — cotez 400 bp court, 150 bp long) est la signature d'un émetteur en difficulté immédiate : s'il survit aux deux prochaines années, son intensité forward retombe. Vous verrez alors les intensités par pilier décroître fortement — l'exact analogue des forwards de taux qui amplifient la forme de la courbe des swaps.

4

Corréler les défauts : la copule gaussienne

Un seul émetteur se décrit par sa courbe de survie. Un portefeuille de crédits pose une question d'un autre ordre : les défauts arrivent-ils ensemble ? Deux portefeuilles de même perte attendue peuvent être radicalement différents — cent défauts indépendants font du bruit, cent défauts corrélés font une crise. Le modèle standard du marché attache à chaque émetteur i une variable latente (sa « santé ») :

X_i = √ρ Z + √1 − ρ ε_i · défaut si X_i < Φ⁻¹(p)

(C4)

où Z est un facteur commun (« l'économie ») et ε_i un aléa propre : c'est la copule gaussienne à un facteur (Li, 2000), transposition directe du modèle de Merton — et cousin exact du bêta du CAPM, appliqué au défaut. Pour un grand portefeuille homogène, conditionnellement à Z la fraction en défaut est déterministe, et la loi de la perte s'obtient en fermé (formule de Vasicek — le même Vasicek que celui des taux) : c'est la densité que trace la figure.

Figure C2 — Loi de la perte d'un grand portefeuille et découpage en tranches

Portefeuille granulaire homogène, LGD = 60 %, formule de Vasicek en grande dimension. Les bandes colorées matérialisent les tranches ; leurs pertes attendues sont recalculées en direct.

PD individuelle p (horizon) 5 %

Corrélation ρ 35 %

Tranche equity 0–3 % Mezzanine 3–7 % Senior 7–15 % Densité de la perte

L'expérience décisive : montez ρ à perte attendue constante. La densité s'écrase vers zéro (la plupart du temps, presque rien ne fait défaut) mais développe une queue droite épaisse (parfois, tout tombe ensemble). La tranche equity, qui absorbe les premières pertes, respire avec p ; les tranches seniors, elles, ne vivent que par ρ — une tranche senior est une position vendeuse de corrélation, quasi insensible au risque individuel. C'est tout le paradoxe des tranches : on peut fabriquer du AAA avec du BB, tant que la corrélation reste celle du modèle.

5

Tranches, indices et leçons de 2008

Le marché a industrialisé ce découpage. Un CDO émet des tranches adossées à un portefeuille de crédits : l'equity prend les premières pertes contre un rendement élevé, la mezzanine suit, le senior ne paie que dans les scénarios systémiques. Les indices CDS (iTraxx Europe, CDX en Amérique du Nord — 125 émetteurs, roulés tous les six mois) et leurs tranches standardisées ont donné à la corrélation un prix coté : comme la volatilité implicite, la corrélation implicite par tranche forme un smile, aveu que la copule gaussienne est fausse aux extrêmes — exactement comme le smile de vol avoue Black-Scholes.

2008 a exécuté la démonstration en conditions réelles, sur les CDO de titrisations hypothécaires : corrélations calibrées sur une décennie sans baisse nationale de l'immobilier américain, recouvrements supposés indépendants des défauts (ils chutent ensemble), et double emploi du même modèle par les agences de notation et les structureurs. Les tranches « AAA » portaient un risque systémique concentré que (C4) ne pouvait pas voir : le facteur Z réel avait des queues bien plus épaisses qu'une gaussienne. La copule n'a pas causé la crise — elle a permis de la noter.

Ce qu'il faut en retenir méthodologiquement : un modèle de dépendance calibré en régime calme ne dit rien des régimes extrêmes, et le risque de modèle est maximal précisément là où le modèle rend les produits le plus rentables. La réponse réglementaire (rétention de risque, standardisation, clearing des CDS d'indices) vit dans l'onglet Wrappers ; la réponse du pricing (CVA et le coût de la contrepartie) a son onglet dédié — XVA.

Pour aller plus loin

R. Merton, On the Pricing of Corporate Debt, Journal of Finance, 1974.
D. Lando, Credit Risk Modeling, Princeton University Press, 2004 — la référence intensité.
D. Li, On Default Correlation: A Copula Function Approach, Journal of Fixed Income, 2000.
O. Vasicek, The Distribution of Loan Portfolio Value, Risk, 2002 — la formule de la figure C2.
D. O'Kane, Modelling Single-name and Multi-name Credit Derivatives, Wiley, 2008 — le manuel du desk.

Risque de contrepartie

XVA : ce que coûte la contrepartie

Un swap « au prix du modèle » suppose que l'autre partie paiera toujours. Depuis 2008, plus personne ne fait cette hypothèse gratuitement : le prix d'un dérivé OTC incorpore le défaut possible de la contrepartie (CVA), le sien propre (DVA), le coût de financer le collatéral (FVA) et celui du capital réglementaire (KVA). Ce tutoriel construit la première brique — l'exposition attendue — et la simule en direct sur un swap de taux.

prix réel = prix sans défaut − CVA + DVA − FVA − KVA

1

Du prix parfait au prix réel

Toute la théorie des onglets précédents price des flux certains d'être honorés. Or un dérivé OTC est une promesse bilatérale de long terme : si ma contrepartie fait défaut alors que le contrat vaut +V pour moi, je ne récupère que R·V — je perds (1 − R)·V. Ce risque a un prix, et la faillite de Lehman (2008) puis les charges CVA massives passées par les banques ont établi la règle : le risque de contrepartie se price, se couvre et se capitalise comme n'importe quel autre facteur.

La subtilité qui rend le sujet non trivial : contrairement à un prêt, l'exposition d'un dérivé est aléatoire et à double sens. Un swap vaut zéro aujourd'hui ; dans deux ans il vaudra peut-être +8 % du notionnel pour moi (et je crains le défaut de l'autre), ou −8 % (et c'est l'autre qui craint le mien). Pricer le risque de contrepartie exige donc de simuler la distribution des valeurs futures du contrat — un problème de type option (l'exposition est un max(V, 0)) greffé sur toute la durée de vie du produit.

La galaxie des ajustements CVA (credit valuation adjustment) : perte attendue due au défaut de la contrepartie. DVA : son miroir — le gain comptable dû à mon propre défaut possible. FVA : coût de financement du collatéral et des appels de marge. MVA : coût de la marge initiale. KVA : coût du capital réglementaire immobilisé. Les desks « XVA » centralisent ces ajustements pour toute la banque — ce sont parmi les plus gros consommateurs de calcul du secteur.

2

L'exposition : EE, EPE, PFE

L'objet central est l'exposition à la date future t : E(t) = max(V(t), 0) — ce que je perdrais (avant recouvrement) si la contrepartie tombait à cet instant, le contrat valant V(t). Comme V(t) est aléatoire, on en résume la loi par trois statistiques :

EE(t) (expected exposure) : la moyenne de max(V(t), 0) — l'entrée du calcul de CVA.
EPE : la moyenne temporelle de EE(t) — le « prêt équivalent » du contrat, utilisée par la réglementation.
PFE₉₅(t) (potential future exposure) : le quantile à 95 % — la mesure de limite : jusqu'où l'exposition peut raisonnablement monter. C'est une VaR d'exposition (onglet Risque).

Pour un swap de taux, le profil de EE(t) a une forme en cloche caractéristique, produit de deux forces opposées : l'effet diffusion (plus t est lointain, plus les taux ont eu le temps de s'écarter, plus |V(t)| peut être grand) et l'effet amortissement (les paiements successifs raccourcissent l'annuité résiduelle : à l'approche de l'échéance, il ne reste presque rien à perdre). Le maximum se situe vers le premier tiers de la vie du contrat — c'est exactement ce que montre la figure X1, dents de scie des paiements annuels comprises.

3

Le CVA en direct

Le CVA assemble les briques des onglets précédents : une simulation de taux (Vasicek, onglet Modèles de taux) pour générer les valeurs futures du swap, la courbe de survie de la contrepartie (onglet Crédit) pour pondérer chaque date par sa probabilité de défaut, et la LGD :

CVA = (1 − R) Σ_k EE^*(t_k) [ Q(t_k−1) − Q(t_k) ]

(X1)

où EE^* est l'exposition attendue actualisée. La figure simule 2 000 trajectoires du taux court sous Vasicek (κ = 0,4, θ = 3 %, r₀ = 2,5 %), revalorise à chaque trimestre un swap payeur de taux fixe 10 ans par les formules fermées du modèle, et en extrait EE, PFE et le CVA :

Figure X1 — Profil d'exposition d'un swap payeur 10 ans et CVA (Monte Carlo sous Vasicek)

2 000 trajectoires, revalorisation trimestrielle par formules fermées, tirages figés. Le taux fixe payé est le taux de swap initial plus l'écart choisi ; le défaut de la contrepartie suit l'intensité impliquée par son CDS (R = 40 %).

Volatilité des taux σ 1,0 %

CDS de la contrepartie 150 bp

Taux fixe payé − taux par 0 bp

EE(t) — exposition attendue PFE₉₅(t) — quantile à 95 %

Lectures : le CVA croît linéairement avec le spread de la contrepartie (à intensité modérée) et avec la volatilité des taux — c'est une option, son prix vit de la variance. L'écart de taux fixe déplace le swap dans ou hors de la monnaie : payer un taux fixe inférieur au par (swap en ma faveur) gonfle l'exposition, donc le CVA. Notez les dents de scie annuelles : chaque échéance payée réduit d'un coup l'annuité résiduelle. En pratique, le desk XVA couvre ce risque en achetant des CDS sur la contrepartie et en traitant le delta/vega de taux — le CVA transforme du risque de crédit en grecques négociables.

4

Collatéral, FVA et la suite de l'alphabet

La première défense contre le risque de contrepartie n'est pas un ajustement de prix, c'est le collatéral : l'annexe CSA du contrat ISDA (onglet Wrappers) organise des appels de marge, souvent quotidiens — l'exposition résiduelle se réduit à quelques jours de mouvement de marché (la margin period of risk), et le CVA s'effondre. Le clearing obligatoire des swaps standards pousse la logique au bout : marge initiale + marge de variation + fonds de défaut mutualisé.

Mais le collatéral ne supprime pas le coût, il le déplace : il faut financer le cash posté. D'où le FVA — la valeur actuelle du spread de financement de la banque appliqué au profil d'exposition — et le MVA pour la marge initiale, immobilisée par construction. Le KVA enfin actualise le coût du capital réglementaire que le contrat consomme sur sa vie entière. Ces ajustements sont conceptuellement plus contestés que le CVA (faire payer au client son propre coût de financement viole l'additivité des prix — deux banques de spreads différents cotent alors deux prix), mais ils structurent réellement la cotation OTC : sur un swap de 20 ans non collatéralisé, la somme des XVA peut dépasser la marge commerciale.

Le fil rouge à retenir : les XVA réintroduisent dans le prix tout ce que Black-Scholes avait supposé hors sujet — qui est la contrepartie, comment on se finance, combien de capital on immobilise. C'est le chantier qui a réuni pricing (Monte Carlo massif sur tout le portefeuille), crédit (courbes de survie) et réglementation en une seule discipline.

Pour aller plus loin

J. Gregory, The xVA Challenge, Wiley, 4ᵉ éd. 2020 — la référence accessible.
A. Green, XVA: Credit, Funding and Capital Valuation Adjustments, Wiley, 2015.
M. Pykhtin & S. Zhu, A Guide to Modelling Counterparty Credit Risk, GARP Risk Review, 2007 — EE/EPE/PFE posés proprement.

Au-delà des actions et des taux

FX, inflation, matières premières

Trois marchés, une même boîte à outils : partout des forwards fixés par arbitrage, des options pricées à la Black-Scholes, des ajustements de convexité. Ce qui change, c'est le « rendement de portage » de l'actif : taux étranger pour une devise, coupon d'indexation pour l'inflation, coût de stockage et convenience yield pour un baril. Ce tutoriel décline le même schéma sur les trois.

F(T) = S₀ e^{(r − q) T}

1

Le change : la parité couverte

Le marché des changes est le plus gros marché du monde (~7 500 milliards de dollars par jour), et son produit dominant n'est pas une option : c'est le forward — et son prix ne doit rien à une opinion. Détenir un euro, c'est pouvoir le placer au taux euro ; détenir un dollar, au taux dollar. L'arbitrage (emprunter dans une devise, placer dans l'autre, revendre à terme) impose la parité des taux d'intérêt couverte :

F(T) = S₀ 1 + r_domT1 + r_étrT ≈ S₀ e^{(r_dom − r_étr)T}

(A1)

La devise à taux élevé cote à terme en dessous de son cours comptant — non parce que le marché prédit sa baisse, mais parce que son portage se paie. L'écart F − S, coté en points de terme (pips), est l'exact analogue du taux forward de l'onglet Taux. Deux conséquences célèbres : le carry trade (encaisser le différentiel de taux en pariant que la dépréciation prévue par le forward ne se réalisera pas — rentable en moyenne, ruineux en crise) ; et le cross-currency basis, petit écart persistant à (A1) apparu en 2008 quand les bilans bancaires ont cessé d'être gratuits — cousin germain du multi-courbes des taux.

2

Options FX : Garman-Kohlhagen

Une option de change est une option sur un actif qui verse un « dividende » continu : le taux étranger. La formule de Garman-Kohlhagen (1983) n'est que Black-Scholes où S est remplacé par S e^−r_étrT :

C = S₀ e^−r_étrT N(d₁) − K e^−r_domT N(d₂), d_1,2 = ln(S/K) + (r_dom − r_étr ± ½σ²)Tσ √T

(A2)

Figure A1 — Call EUR/USD par Garman-Kohlhagen : prix, forward et points de terme

Strike K = 1,10, maturité 1 an. La courbe donne le prix du call en fonction du spot ; le repère vertical marque le forward du spot choisi. Survolez la courbe.

Spot S₀ 1,10

Taux domestique r$ 4,0 %

Taux étranger r€ 2,0 %

Volatilité σ 9 %

Prix du call (en $ par €) Valeur intrinsèque Forward F(S₀)

Manipulez les deux taux : leur différentiel déplace le forward, donc toute la valeur temps — un call EUR/USD s'apprécie quand le taux dollar monte, symétrie parfaite avec le rho des options actions. Le marché FX a ses conventions propres : les smiles se cotent en delta (25Δ, 10Δ) plutôt qu'en strike, et en instruments composites — straddle ATM (le niveau), risk reversal (l'asymétrie du smile), butterfly (sa convexité). Trois nombres par maturité qui résument la nappe — le lien avec l'onglet Volatilité est direct.

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Quanto et compo

Dès qu'un produit mélange un sous-jacent étranger et un paiement domestique, le change s'invite dans le pricing. Deux emballages :

Compo : le payoff porte sur S × FX (le Nikkei converti en euros). La volatilité pertinente est celle du produit : σ² = σ_S² + σ_FX² + 2ρσ_Sσ_FX.
Quanto : le payoff porte sur S seul, payé en devise domestique à taux de change fixé à 1 (le Nikkei en points, payés en euros). Le porteur ne prend aucun risque de change apparent — mais quelqu'un le porte pour lui.

Ce « quelqu'un » se paie par un ajustement quanto : sous la mesure de pricing domestique, la dérive du sous-jacent étranger se décale de la covariance entre l'actif et le change :

drift quanto = (r_étr − q) − ρ σ_S σ_FX

(A3)

C'est le troisième ajustement de convexité du parcours, après le couple future/FRA et le CMS (onglet Taux) : chaque fois qu'un flux est payé « dans la mauvaise unité de compte », une covariance s'invite dans le prix. Le même mécanisme — changement de numéraire — les engendre tous.

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L'inflation

Le sous-jacent est ici un indice de prix (HICP en zone euro, CPI aux États-Unis), publié mensuellement avec retard — d'où des conventions d'indexation à décalage (l'OATi paie sur l'indice d'il y a trois mois). Les instruments :

Obligations indexées (OATi/OAT€i, TIPS) : coupon et principal multipliés par le ratio d'indice. Elles livrent un taux réel ; l'écart entre le taux nominal et le taux réel de même maturité — le break-even d'inflation — est l'inflation qui égalise les deux placements, la mesure de marché des anticipations.
Swap d'inflation zéro-coupon : une seule jambe fixe (1 + k)^T contre le ratio d'indice réalisé. Le taux k coté est le break-even « pur », débarrassé des effets de coupon — c'est l'instrument de bootstrap de la courbe d'inflation, exactement comme les swaps de taux au chapitre Taux.
Caps/floors d'inflation : des options sur l'inflation annuelle — le floor à 0 % embarqué dans les obligations indexées (le principal ne s'indexe jamais sous le pair) en est l'exemple caché le plus important.

break-even ≈ y_nominal − y_réel = inflation anticipée + prime de risque d'inflation − prime de liquidité

(A4)

La relation (A4), dite de Fisher, rappelle que le break-even n'est pas une prévision pure : il embarque des primes, comme toute quantité risque-neutre de ce cours. Techniquement, le marché se price dans un cadre à deux courbes (nominale et réelle) où l'indice joue le rôle d'un taux de change entre les deux économies — le modèle de Jarrow-Yildirim transpose littéralement le change : troisième vie de la même mathématique. La saisonnalité mensuelle des indices (soldes, énergie) est l'idiosyncrasie qui déroute le nouvel arrivant.

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Matières premières : contango et backwardation

Un baril n'est pas une action : il se stocke (cher), se transporte, et sa détention physique rend des services qu'un contrat papier ne rend pas — alimenter une raffinerie sans rupture, par exemple. Le portage s'écrit donc avec deux termes propres au physique : le coût de stockage c (qui s'ajoute au taux) et le convenience yield y, rendement implicite de la détention physique (qui se retranche) :

F(T) = S₀ e^{(r + c − y) T}

(A5)

Figure A2 — La courbe des forwards : du contango à la backwardation

Spot = 100, r = 2,5 %. Le signe de r + c − y décide de la pente : stockage cher et abondance → contango ; tension physique (y élevé) → backwardation.

Coût de stockage c 2,0 %

Convenience yield y 1,0 %

Courbe forward F(T) Spot

Ce signe n'est pas un détail : il gouverne le rendement de roulement (roll yield) de tout investisseur en futures — en contango, rouler sa position coûte à chaque échéance ; en backwardation, elle rapporte — et il fait de la courbe un thermomètre physique (le passage brutal du WTI en super-contango en avril 2020, jusqu'au prix négatif du spot, était un problème de cuves pleines, pas de finance). Côté modèles, le convenience yield stochastique (Gibson-Schwartz) et le retour à la moyenne des prix (Schwartz 1997) recyclent… Vasicek, encore. Les options sur futures se pricent avec la formule de Black (1976) — Black-Scholes où S est remplacé par F actualisé — le standard de fait de tous les marchés listés de matières premières et de taux.

Pour aller plus loin

M. Garman & S. Kohlhagen, Foreign Currency Option Values, Journal of International Money and Finance, 1983.
F. Black, The Pricing of Commodity Contracts, Journal of Financial Economics, 1976.
R. Jarrow & Y. Yildirim, Pricing Treasury Inflation Protected Securities…, JFQA, 2003.
E. Schwartz, The Stochastic Behavior of Commodity Prices, Journal of Finance, 1997.
H. Geman, Commodities and Commodity Derivatives, Wiley, 2005.

Gestion des risques

VaR et Expected Shortfall : mesurer le pire

Tout ce cours a pricé des produits ; il reste à mesurer ce qu'un portefeuille entier peut perdre. La Value-at-Risk répond par un quantile, l'Expected Shortfall par la moyenne au-delà — et le choix entre les deux, loin d'être un détail statistique, a réécrit la réglementation bancaire mondiale. Les deux mesures se calculent en direct sur un P&L à queues épaisses.

P( perte > VaR_α ) = 1 − α

1

De la volatilité à la VaR

L'écart-type du CAPM traite symétriquement gains et pertes ; un risk manager, un régulateur ou un conseil d'administration ne s'intéressent qu'à un côté. La Value-at-Risk reformule le risque en une phrase prononçable en comité : « nous avons 99 % de chances de ne pas perdre plus de X demain ». Formellement, VaR_α est le quantile de niveau 1 − α de la distribution du P&L à l'horizon choisi (1 jour pour le trading, 10 jours pour le réglementaire, 1 an pour le crédit).

Sa force est politique autant que technique : un seul chiffre, en euros, agrégeable de la table de trading jusqu'au groupe, comparable entre une position de change et un book d'options. C'est ce qui l'a imposée (RiskMetrics de J.P. Morgan, 1994, puis Bâle) comme langue commune du risque — et c'est précisément cette compression d'une distribution entière en un point qui fait tout ce qu'on lui reproche (section 3).

Ce que la VaR ne dit pas La VaR à 99 % ne dit rien de ce qui se passe dans le 1 % restant — ni combien on perd alors, ni comment. Deux portefeuilles de même VaR peuvent perdre, dans la queue, 1,2 fois ou 10 fois la VaR. Elle dit « où commence la zone rouge », pas « ce qu'il y a dedans ».

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Trois méthodes de calcul

Méthode	Principe	Forces	Faiblesses
Paramétrique	P&L supposé gaussien : VaR = −(μ − `z`_ασ), σ agrégé par la matrice de covariance (Markowitz, encore)	Instantanée, transparente, grecques analytiques	Queues gaussiennes ; linéarise les options (le gamma disparaît)
Historique	Rejouer les N derniers scénarios (250 à 500 jours) sur le portefeuille d'aujourd'hui ; VaR = quantile empirique	Aucune hypothèse de loi, capte corrélations et queues réalisées	Aveugle à ce qui n'est pas dans la fenêtre ; quantile bruité
Monte Carlo	Simuler les facteurs (modèles des onglets précédents), revaloriser tout le portefeuille	Options et path-dependents traités exactement ; scénarios enrichissables	Coût de calcul massif ; tout le risque de modèle des simulateurs

En pratique, la VaR historique domine les desks (robustesse, auditabilité), le Monte Carlo domine dès que les books sont optionnels, et la paramétrique survit comme contrôle rapide et outil d'attribution — décomposer la VaR par facteur, ce que sa forme quadratique rend trivial. Les trois convergent sur un portefeuille linéaire en régime calme ; elles divergent exactement là où c'est important.

3

Queues épaisses et Expected Shortfall

Deux reproches majeurs à la VaR. D'abord, elle n'est pas sous-additive : on peut construire deux portefeuilles dont la VaR combinée dépasse la somme des VaR — la « diversification » augmenterait le risque affiché, absurdité pour une mesure censée piloter des agrégations. Ensuite, elle ignore la queue. L'Expected Shortfall corrige les deux d'un coup :

ES_α = E[ perte | perte > VaR_α ]

(K1)

— la perte moyenne dans les pires (1 − α) scénarios. L'ES est sous-additive (mesure « cohérente » au sens d'Artzner et al.), et elle regarde dans la zone rouge au lieu d'en marquer la frontière. C'est pourquoi la révision réglementaire FRTB a remplacé la VaR 99 % par l'ES 97,5 % pour le risque de marché. La figure montre tout l'argument sur un P&L simulé à queues épaisses (régime calme + régime de stress) :

Figure K1 — VaR et ES sur un P&L à queues épaisses, contre l'étalon gaussien

20 000 P&L quotidiens simulés (mélange : 96,5 % régime calme, 3,5 % régime de stress), tirages figés. Basculez sur la gaussienne de même moyenne et variance pour mesurer ce que l'hypothèse normale ne voit pas.

Niveau de confiance α 99,0 %

Distribution

Fréquence du P&L VaR_α ES_α

À faire absolument : α = 99 %, puis basculez entre les deux mondes. À variance identique, la gaussienne rend une VaR nettement plus faible — l'hypothèse normale sous-estime le quantile extrême — et un écart ES/VaR bien plus serré : dans le monde gaussien, franchir la VaR coûte à peine plus que la VaR ; dans le monde réel, la moyenne de la queue s'en éloigne violemment. Puis montez α vers 99,8 % : la VaR empirique fait des sauts (quelques observations seulement au-delà du quantile — le bruit d'estimation en direct), quand l'ES, qui moyenne toute la queue, bouge plus continûment. Tout le débat VaR/ES tient dans ces deux manipulations.

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Backtesting et stress tests

Une mesure de risque se vérifie. Le backtest de la VaR compte les exceptions — les jours où la perte réelle dépasse la VaR annoncée : à 99 % sur 250 jours, on en attend 2,5. Le test de Kupiec vérifie que le compte observé est compatible avec cette fréquence ; le cadre de Bâle en fait des zones (verte ≤ 4 exceptions, jaune 5-9 : majoration de capital, rouge ≥ 10 : modèle rejeté). Subtilité d'examen : un bon modèle doit aussi avoir des exceptions indépendantes — trois dépassements groupés dans une semaine de crise valent un carton rouge que le simple comptage annuel ne voit pas. L'ES se backteste moins directement (c'est une moyenne conditionnelle, pas une fréquence) — l'une des vraies objections techniques à FRTB.

Le stress test complète l'arsenal par l'autre bout : au lieu de demander à l'histoire récente ses quantiles, on impose des scénarios — historiques (2008, 2020), hypothétiques (défaut souverain, +200 bp en une semaine), ou inversés (chercher le scénario qui ruine ce portefeuille précis). Pas de probabilité attachée : c'est assumé. Le stress test répond à la question que la VaR esquive — « et si le monde change de régime ? » — et c'est lui qui pilote aujourd'hui les exigences de capital des grandes banques (CCAR américain, stress tests EBA).

La boucle du cours se referme : la VaR paramétrique, c'est Markowitz ; la VaR Monte Carlo, ce sont les simulateurs de tous les onglets de pricing ; l'exposition des dérivés, c'est l'onglet XVA ; et les queues épaisses qui ruinent l'hypothèse gaussienne sont exactement ce que le smile de volatilité price depuis 1987. Mesurer le risque et pricer les produits sont les deux faces d'une même discipline.

Pour aller plus loin

P. Jorion, Value at Risk, McGraw-Hill, 3ᵉ éd. 2006 — le manuel historique.
P. Artzner, F. Delbaen, J.-M. Eber & D. Heath, Coherent Measures of Risk, Mathematical Finance, 1999.
A. McNeil, R. Frey & P. Embrechts, Quantitative Risk Management, Princeton, 2015 — queues, copules, EVT.
Comité de Bâle, Minimum Capital Requirements for Market Risk (FRTB), 2019.

Origines et intuition

Les hypothèses du modèle

Rendement, risque et diversification

La frontière efficiente et la droite de marché des capitaux

Le bêta et la Security Market Line

L'optimisation quadratique en dimension n

5.1 — Formulation du problème

5.2 — Lagrangien et solution en forme fermée

5.3 — Ce que la solution nous apprend

5.4 — Du portefeuille tangent au CAPM

5.5 — Le solveur interactif (n = 5)

5.6 — Au-delà des contraintes d'égalité

Portée et limites

Pour aller plus loin

Qu'est-ce qu'une option ?

Le mouvement brownien géométrique

La formule et sa logique

3.1 — L'argument de réplication

3.2 — La solution

Les grecques : les sensibilités du prix

Volatilité implicite et limites

Pour aller plus loin

Pourquoi plusieurs méthodes ?

Formules fermées : le luxe rare

Arbres binomiaux : discrétiser l'aléa

Différences finies : discrétiser l'EDP

Monte Carlo : discrétiser l'espérance

Choisir sa méthode

Au-delà : le pricing moderne

Pour aller plus loin

Vanilles et combinaisons : l'alphabet des payoffs

Options à barrière : le vanille conditionnel

Options asiatiques : le payoff sur moyenne

Swaps de variance et de volatilité : trader σ en direct

Dispersion : trader la corrélation

Equity swaps et dividend swaps : les briques de flux

6.1 — L'equity swap (total return swap)

6.2 — Le dividend swap

Pour aller plus loin

Zéro-coupons et conventions de taux

Les instruments de la courbe

Construire la courbe : le bootstrap

CMS contre swap classique : l'ajustement de convexité

4.1 — Deux produits, une différence subtile

4.2 — D'où vient l'ajustement

Le bestiaire des produits de taux

5.1 — Les briques obligataires

5.2 — L'optionalité vanille : caps, floors, swaptions

5.3 — Les exotiques : quand le coupon raconte une histoire

Le monde multi-courbes

Pour aller plus loin

Pourquoi modéliser les taux ?

Les modèles de taux court

Le cadre HJM : modéliser la courbe entière

Les modèles de marché : BGM / LMM

SABR : le smile de taux

Le paysage actuel : quel modèle pour quel produit ?

Pour aller plus loin

Ce que décide l'enveloppe

Le gré à gré : options OTC et swaps

Le listé : warrants, turbos et certificats

L'EMTN : l'habit des produits structurés

Fonds, formules et assurance

Le même payoff, six enveloppes

Pour aller plus loin

Le smile, objet de marché

La volatilité locale de Dupire

La volatilité stochastique : Heston

Variance forward et arbitrages de nappe

Quel modèle pour quel produit ?

Pour aller plus loin

Le lego structuré

L'autocall pas à pas

Le pricing en direct

La vie du produit côté desk

Le bestiaire des variantes

Pour aller plus loin

Spread, défaut, recouvrement

Les modèles d'intensité

Le CDS et le bootstrap de survie

L'optimisation quadratique en dimension `n`